剖析考题 演绎精彩

苏立标

2008年的数学高考试题可以说是好题荟翠、精彩迭出，留下许多经典之笔，可圈可点，今年浙江高考的解析几何更是在众多的高考试题中脱颖而出，成为其中一颗耀眼的“明珠”，再次引起人们的极大关注.下面主要对这道高考试题及其背景作一些点评与剖析.

一、试题解法的探究与点评

题目 已知曲线C是到点P(-12,38)和到直线y=-58距离相等的点的轨迹.l是过点Q(-1，0)的直线，M是C上(不在l上)的动点；A、B在l上，MA⊥l,MB⊥x轴(如图).(1)求曲线C的方程；(2)求出直线l的方程，使得|QB|2|QA|为常数.

解(1)：设N(x,y)为C上的点，易得曲线C的方程为y=12(x²+x).

(2)解法1：设M(x,x²+x²)，直线l:y=kx+k，则B(x,kx+k)，从而|QB|=1+k2|x+1|.

在Rt△QMA中，因为|QM|2=(x+1)2•(1+x²4),|MA|2=(x+1)2(k-x²)21+k2.所以|QA|2=|QM|2-|MA|2=(x+1)24(1+k2)(kx+2)2.|QA|=|x+1|•|kx+2|21+k2,|QB|2|QA|=2(1+k2)1+k2|k||x+1x+2k|.当k=2时，|QB|2|QA|=55.从而所求直线l的方程为2x-y+2=0.

解法2：设M(x,x²+x²)，直线l:y=kx+k，则B(x,kx+k)，从而|QB|=1+k2|x+1|.过Q(-1，0)垂直于l的直线l1:y=-1k(x+1).因为|QA|=|MH|，所以|QA|=|x+1|•|kx+2|21+k2,|QB|2|QA|=2(1+k2)1+k2|k|•|x+1x+2k|.当k=2时，|QB|2|QA|=55，从而所求直线l的方程为2x-y+2=0.

点评：这是一道返璞归真的探索定值问题的高考试题，其设计之新颖，立意之深邃，把解析几何的基本思想体现得如此酣畅淋漓，整个试题设计匠心独运，背景熟悉而深刻，有一种“似曾相识燕归来”的感觉，给考生一种平和亲切的答题氛围.由于探究而使得问题不落俗套；由于方法回归基础而使得问题变得“朴素无华”；由于利用平面几何知识而使得问题变得简单明了.整个问题的设计集“动点”与“定值”于一体，完美结合，可以说是“动静结合总相宜”.

二、试题的思考与背景

思考1：“注重通性通法，淡化特殊技巧”是近几年高考数学命题者所追求的一贯风格.

在我们高三的复习课中，特别是第一轮的高考复习更应该加强基础知识的落实与强化回归，这是高考成功的根本之所在.其实，对于这个高考试题只要认真地把有关点的坐标表示出来，那么距离就迎刃而解，结论也就“水到渠成”了，所以在数学思想上，我们的复习课要坚决贯彻“最基础的最有生命力，最基础的最有迁移力”这一重要理念.

思考2：注重引导学生对解题后的回顾反思与刨根问底是非常有必要的.

当我们解答完成时，我们要引导学生“常常回头看看”，寻找命题的背景材料，追踪命题者的命题思路与痕迹，这样既可以培养学生善于思考、善于探究的能力，而且还可以提高我们复习课的效率.所以在这里，我们不禁要问：当直线l的斜率k=2时，直线l与抛物线处于一种什么样的几何状态呢?我们易求得在点Q处抛物线的切线的斜率为k切=(x+12)|x=-1=-12，所以k•k切=-1，这说明直线l是与过点Q的抛物线的切线垂直的直线，即l是过点Q的抛物线的 法线.至此，直线l的真面目”已经“浮出水面”，事实上，该命题所揭示的问题背景正是抛物线法线的一个有趣的几何性质.

背景剖析：设Q为抛物线x²=2py(p>0)上的任意一点，QT是抛物线在点Q处的法线段，M是抛物线上(不在QT上)的动点，如果A、B在QT上，MA⊥QT，MB⊥x轴，则|QB|2=|QA|•|QT|.

证明：设Q(x0,x²02p)，则法线QT的方程为y-x²02p=-px0(x-x0)，即y=-px0x+p+x²02p，代入抛物线方程得x²+2p2x0x-2p2-x²0=0,∴x1+x2=-2px0,x1•x2=-2p2-x²0，因此|QT|=1+p2x²0|x1-x2|=2(x²0+p2)32x²0(1)，设M(x1,x²12p),则

B(x1,-px0x1+p+x²02p),

∴|QB|2=(x1-x0)2+(p-px0x1)2=x²0+p2x²0•(x1-x0)2 (2).

过点Q的切线方程为xx0=p(y+x²02p)，即xx0-py-x²02=0,MA的方程为xx0-py+x²12-x1x0=0，由两条平行直线的距离公式知|QA|=|x²12-x1x0+x²02|x²0+p2=12(x1-x0)2x²0+p2(3).

由(1)(2)(3)可知|QB|2=|QA|•|QT|.

三、结束语

经过解题后的深入反思，我们可以这样说，同样的问题，不一样的精彩!也只有不断进行解题反思，才能触及数学问题的本质.

有人曾说过“如果教师跪着教，那么学生就趴着学”，所以我们教师只有选择站着，而且要站到一定的高度，我们的教学才有希望到达“会当凌绝顶，一览众山小”的境界.

参考文献

［1］狄海鸣.2008年数学高考评卷感想.中学教研(数学).2008年第8期.