圆锥曲线焦点轴上的一对等积点

问题1 (2006年高考上海卷，理20)在平面直角坐标系xOy中，设直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点.

(1)求证：“如果直线l过点T(3，0)，那么㎡A•㎡B=3”是真命题；

(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.

解：(1)略.(2)易证得当㎡A•㎡B=3时，直线l过定点T(-1，0)或T(3，0)，故(1)中命题的逆命题为假.

笔者对问题1的(2)问在圆锥曲线中进行了一般性探究，并得到了如下几个结论.

引理1(文［1］定理3) 已知抛物线y2=2px(p>0)，过定点T(t,0)(t≠0)的动直线与抛物线相交于A，B两点，则在x轴上存在唯一定点C(0，0)，使〤A•〤B呶常数t(t-2p).

定理1 已知抛物线y2=2px(p>0)，过定点T1(t1,0)的动直线与抛物线相交于A1，B1两点，过定点T2(t2,0)的动直线与抛物线相交于A2，B2两点，其中t1≠t2，且t1,t2≠0.若t1+t2=2p，则在x轴上存在唯一定点C，使〤A1•〤B1=〤A2•〤B2吆愠闪.

证明：由引理1知，只需证t1(t1-2p)=t2•(t2-2p)，而由t1+t2 =2p，即t2=2p-t1知，所需证明的等式成立是显然的.

引理2(文［1］定理2) 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0,c>0,c2=a2-b2)，过定点T(t,0)(t≠0且t≠±a)的动直线与椭圆相交于A，B两点.则在x轴上存在唯一定点C(a2+b2)t2+a2c22a2t,0，使〤A•〤B呶常数(a2-t2)［a2c4-(a2+b2)t2］4a4t2.

定理2 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0,c>0,c2=a2-b2),过定点T1(t1,0)的动直线与椭圆相交于A1，B1两点，过定点T2(t2,0)的动直线与椭圆相交于A2，B2两点，其中t1≠t2，且t1,t2≠0.t1,t2≠±a，若t1t2=a2c2a2+b2，则在x轴上存在唯一定点C，使〤A1•〤B1=〤A2•〤B2吆愠闪.

证明：由引理2知，只需证

(a2-t21)［a2c4-(a2+b2)t21］4a4t21=

(a2-t22)［a2c4-(a2+b2)t22］4a4t22.由t1t2=a2c2a2+b2，得t2=a2c2(a2+b2)t1，将此代入所需证明的等式右端，整理后即可得证.

引理3(文［1］定理1) 已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0,c>0,c2=a2+b2)，过定点T(t,0)(t≠0且t≠±a)的动直线与双曲线交于A，B两点.则在x轴上存在唯一定点C(a2-b2)t2+a2c22a2t,0，使〤A•〤B呶常数(a2-t2)［a2c4-(a2-b2)t2］4a4t2.

定理3 已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0,a≠b，c>0,c2=a2+b2)，过定点T1(t1,0)的动直线与双曲线相交于A1，B1两点，过定点T2(t2,0)的动直线与双曲线相交于A2，B2两点，其中t1,t2≠0，t1,t2≠±a，且t1≠t2.若t1t2=a2c2a2-b2，则在x轴上存在唯一定点C，使得〤A1•〤B1=〤A2•〤B2吆愠闪.

参考文献

［1］苏立志.一道2007年高考题的推广及应用［J］.数学通讯，2007第19期.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”