田字格路径题的研究性教学实验

郑燕红

数学的研究性教学要求注重培养学生以严谨的态度和科学的研究方式认真观察、分析、归纳和解决问题，不仅如此，更要学会思考，进一步提出问题、探索解决问题的方案，从而达到获得知识、学会学习、启迪智慧的目的.本文以田字格路径问题为实例，探究中学数学课堂教学的研究性教学的实践方法.

1.诱导问题的提出

某城市道路以东西向、南北向即田字格状构建，若从一街口开始朝正北和正东方向行走并到达另一街口，问最短途径的不同走法有多少种?

2.新颖的表述形式

本题以文字说明的情景语言而非数学语言呈现给学生，使学生受到将实际问题抽象成数学问题的方法启示.培养学生从现实背景中“看”数学，从实际生活中提炼数学问题，逐步形成将现实问题数学化并运用数学思想方法解决问题的能力.

3.解题的推演策略

问题的提出和解决既不新颖也不十分困难，然而思维模式涉及了数学知识、数学技能和概念图形的识别等能力，问题具有较强的探索性和趣味性.

首先，通过启迪提问：

归纳出三个隐藏的子问题：以边为单位的距离问题；距离的最小值问题；路径排列组合问题.后者是问题的关键.

脚下的路千万条，需要的只是符合问题要求的正确路线.数学学习也一样，学生应在科学指导和激励下，通过寻找符合要求条件的学习活动，学会分析、归纳和提出问题，从而最终解 决问题，使思想走上数学思维方法的坦途.

第二步，图形分析：

通过简单举例，学生演板，从图形着手，分

析到各交叉点可能的行走方法种数，并标记数据.设从点A(0，0)走至点B(4，2)，Ax为正东方向，Ay为正北方向(如图).

这一过程让学生既复习了图形知识也复习了地理知识，通过教学互动极大地活跃了课堂气氛，调动了学习的能动性.

第三步，数据概括：

从图分析，提示学生找出以下结果：从A出发到达任意一个交叉点的走法是其上一步的横向和纵向交点走法之和，如3=1+2或3=2+1.进而得出，到达B点的走法有：5+10=15(种).

至此，解题结束，学生的学习热情调到了最高点.

第四步，归纳推广：

老师及时将方格图添补成正方形，填充相应数据.通过以对角线为对称轴，学生从图中可发现：相同层面上的行和列数据相同.即，行与列上的数关于过原点的对角线对称.

观察能力的培养是数学教学的重要内容，多媒体教学更能吸引视觉的注意.通过图示对角线 和彩色字符等技术处理，对完成本阶段教学具有补充作用.

第五步，类比联想：

将行(列)对应的数据添满，形成习惯的视觉对称图形，以利于联想发挥.

这样，一个活脱的“杨辉三角形”展现在眼前，学生会由特殊想到一般，由有限归纳猜想到无穷.这种曲径通幽、豁然开朗的感觉对学生来说简直是美极了.

显然求任意B点的走法只须按组合数计算，不难证明，到点B的走法B(x,y)=Cxx+y=Cyx+y.比如，B(4,2)=C26=15.

到此，解题活动的教学目的明朗.这不是仅仅一个问题的求解，而是一个科学发现过程的淋漓尽致的演绎和酣畅的体验.使学生数学心灵受到一次震撼，学习思维得到一次升华，创造灵感得到一次催发.

第六步，拓展引伸：

习题：某城镇有南北向街道6条，东西向街道6条，镇内有一池塘，环池塘大道成菱形(如图).邮递员从该镇的东西角的邮局A出发送信到东南角的B地，问最短路程的不同走法最多有多少种?

解答：第一步，分析：标记点C、D、E.根据直角三角形两直角边的和大于第三边原理，有CD

第二步，结论：A至B的最短路程必经点C或D，然后走三角形斜边到达B；

第三步，计算：最短路程的不同走法：C25C13+C15=35(种).

要求有能力的学生当场完成解题任务，有困难的学生可课后完成，达到巩固知识、拓展思维、激发兴趣的目的，又能及时检验和评价教学效果.

4.思考

问题和求解是数学教学活动的主线，因此，具有层次性、实际性、开放性、广延性的问题的设立以及解题拓展的精彩安排是研究性教学要求的真正内核和追求目标.本探索自始至终贯穿着一个个探究的悬念和美好的意境，不断激发学生学习热情、主动地攀登顿悟巅峰.

研究性教学，是在教学过程中，老师指导和启迪学生以类似于科学研究的方法获取和应用知识的教学方式.这种先进的教学理念，强调在学习过程中学生主体的地位，强调学生主体的主观能动性，强调教学目的是培养能力和激发潜能，目标是试图通过类似研究的手段达到教学的更高境界，而并不是研究.因此，一味的煽耸学生“自学自推”，不做科学的传授、指导和引领，不仅教学事倍功半，也是对教学不负责任的表现.

中学数学的教学目的是传授知识和发掘智慧潜能，舍此无它.因此，研究型教学更应当不断追求教学的艺术，激活我们的课堂教学，变“灌”为“导”、变“教”为“诱”、变“学”为“思”.注重培养学生的问题意识，引导学生学会质疑、学会反思、学会变通角度思考、学会理性思维，发挥主动性、富有思辨性、展现创造性.

参考文献

［1］蒋建华.让新课程改革成为师生共同成长的契机，上海.：教育发展研究，2004，3.

［2］顾鑫盈.从一个案例看《普通高中数学课程标准(实验)》，数学通报2004，1.