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函数概念的发展史

2008-11-11刘现伟

关键词:变数式子数学家

刘现伟

数学的发展史表明,重要的数学概念的产生和发展,对数学的发展起着不可估量的作用.有些重要的数学概念,对数学分支的产生更起着奠基性的作用.函数就是这样的重要概念.

最早提出函数(function)概念的,是德国数学家莱布尼茨(1646-1716).最初莱布尼茨用“函数”一词表示幂,如x2,x3,x4等都叫函数.以后,他又用函数表示直角坐标系中曲线上一点的横坐标、纵坐标.

1718年,莱布尼茨的学生、瑞士数学家贝努利把函数定义为:由某个变量及任意的一个常数结合而成的数量.这个定义的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数.贝努利其实强调的是函数要用公式来表示.

后来,一些数学家觉得不应该把函数概念局限在“能用公式来表示”上,只要一些变量变化,另一些变量能随之而变化就可以了,至于这些变量的关系是否能用公式来表示,不应作为判别函数的标准.

1755年,瑞士数学家欧拉把函数定义为:如果某些变量,以某一种方式依赖于另一些变量,即当后面这些变量变化时,前面这些变量也随着变化,就把前面的变量称为后面变量的函数.在欧拉的定义中,就不再强调函数要用公式表示了.由于函数不一定要用公式来表示,欧拉就把画在坐标系中的曲线也叫做函数.他认为:“函数就是随意画出的一条曲线.”

当时有些数学家对于不用公式来表示函数感到很不习惯,甚至抱怀疑态度.他们把能用公式表示的函数叫“真函数”,把不能用公式表示的函数叫“假函数”.1821年,法国数学家柯西给出了类似现在中学课本中函数定义的函数定义:在某些变数间存在着一定的关系,当给定其中某一变数的值,其他变数的值随之而确定时,则将最初的变数叫做自变量,其他各变数叫做函数.在柯西的定义中,首先出现了自变量一词.

1822年,法国数学家傅里叶发现,某些函数可用曲线表示,也可用一个式子表示,或用多个式子表示,从而结束了函数是否以唯一一个式子表示的争论,把对函数的认识又推进了一个新的层次.

1834年,俄国数学家罗巴切夫斯基进一步提出函数的定义: x的函数是这样的一个数,它对于每一个x都有确定的值,并且它随着x一起变化;函数值可以由解析式给出,也可以由一个条件给出,这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法.这个定义指出了对应关系(即所说的“条件”)的必要性,利用这个关系,可以求出每一个x的对应值.

1837年,德国数学家狄利克雷认为,怎样去建立x与y之间的对应关系是无关紧要的,所以他的定义是:如果对于x的每一个值,y总有一个完全确定的值与之对应,则y是x的函数.这个定义抓住了函数概念的本质,比前面的定义更有普遍性,为理论研究和实际应用提供了方便.因此,这个定义之后曾被长期使用.依据这个定义,狄利克雷举了一个例子:对0≤x≤1,当x为有理数时,对应y=1;当x为无理数时,对应y=0.这就是一个函数(也就是著名的狄利克雷函数).它的图象很难画出来.

中文数学书上使用的“函数”一词是转译词.我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》一书时,把“function”译成了“函数”.

中国古代“函”字与“含”字通用,都有“包含”的意思.李善兰给出的定义是:“凡式中含天,为天之函数.”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量.所以“函数”是指公式里含有变量的意思.

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