函数概念的发展史

刘现伟

数学的发展史表明，重要的数学概念的产生和发展，对数学的发展起着不可估量的作用.有些重要的数学概念，对数学分支的产生更起着奠基性的作用.函数就是这样的重要概念.

最早提出函数（function）概念的，是德国数学家莱布尼茨（1646-1716）.最初莱布尼茨用“函数”一词表示幂，如x²，x³，x⁴等都叫函数.以后，他又用函数表示直角坐标系中曲线上一点的横坐标、纵坐标.

1718年，莱布尼茨的学生、瑞士数学家贝努利把函数定义为：由某个变量及任意的一个常数结合而成的数量.这个定义的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数.贝努利其实强调的是函数要用公式来表示.

后来，一些数学家觉得不应该把函数概念局限在“能用公式来表示”上，只要一些变量变化，另一些变量能随之而变化就可以了，至于这些变量的关系是否能用公式来表示，不应作为判别函数的标准.

1755年，瑞士数学家欧拉把函数定义为：如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，就把前面的变量称为后面变量的函数.在欧拉的定义中，就不再强调函数要用公式表示了.由于函数不一定要用公式来表示，欧拉就把画在坐标系中的曲线也叫做函数.他认为：“函数就是随意画出的一条曲线.”

当时有些数学家对于不用公式来表示函数感到很不习惯，甚至抱怀疑态度.他们把能用公式表示的函数叫“真函数”，把不能用公式表示的函数叫“假函数”.1821年，法国数学家柯西给出了类似现在中学课本中函数定义的函数定义：在某些变数间存在着一定的关系，当给定其中某一变数的值，其他变数的值随之而确定时，则将最初的变数叫做自变量，其他各变数叫做函数.在柯西的定义中，首先出现了自变量一词.

1822年，法国数学家傅里叶发现，某些函数可用曲线表示，也可用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新的层次.

1834年，俄国数学家罗巴切夫斯基进一步提出函数的定义： x的函数是这样的一个数，它对于每一个x都有确定的值，并且它随着x一起变化；函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法.这个定义指出了对应关系（即所说的“条件”）的必要性，利用这个关系，可以求出每一个x的对应值.

1837年，德国数学家狄利克雷认为，怎样去建立x与y之间的对应关系是无关紧要的，所以他的定义是：如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数.这个定义抓住了函数概念的本质，比前面的定义更有普遍性，为理论研究和实际应用提供了方便.因此，这个定义之后曾被长期使用.依据这个定义，狄利克雷举了一个例子：对0≤x≤1，当x为有理数时，对应y＝1；当x为无理数时，对应y＝0.这就是一个函数（也就是著名的狄利克雷函数）.它的图象很难画出来.

中文数学书上使用的“函数”一词是转译词.我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》一书时，把“function”译成了“函数”.

中国古代“函”字与“含”字通用，都有“包含”的意思.李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数.”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量.所以“函数”是指公式里含有变量的意思.