一次函数考点扫描

刘志凤

函数是初中数学的重要内容.借助函数的图象和性质，能直观地反映数学问题中“数”与 “形”之间的内在联系.数形结合的思想方法，是解决问题的主要手段之一.一次函数是常见函数类型中的一种，也是进一步学习反比例函数、二次函数的基础.其知识要点如下表.

1. （2008年·成都）某农场租用播种机播种小麦.在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成800亩（注：一种面积单位）的播种任务.播种亩数y与天数t之间的函数关系如图1所示.那么乙播种机参与播种的天数是.

2. （2008年·山东）如图2，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y.如果y关于x的函数图象如图3所示，则△ABC的面积是（）.

A． 10B． 16C． 18D． 20

3. （2007年·吉林）今年4月18日，我国铁路第六次大提速.在甲、乙两城市之间开通了动车组高速列车．已知每隔1 h有一列动车组列车从甲城开往乙城．它们的速度相同.如图4所示，OA是第一列动车组列车与甲城的距离s（单位：km）和运行时间t（单位：h）的函数图象，BC是一列从乙城开往甲城的普通快车与甲城的距离s（单位：km）和时间t（单位：h）的函数图象．请根据图中信息，解答下列问题.

（1）点B的横坐标0.5的意义是普通快车发车时间比第一列动车组列车发车时间h，点B的纵坐标300的意义是．

（2）请你在原图中直接画出第二列动车组列车与甲城的距离s（单位：km）和时间t（单位：h）的函数图象．

（3）若普通快车的速度为100 km/h，①求BC的解析式，并写出自变量t的取值范围；②求第二列动车组列车出发后多长时间与普通快车相遇；③直接写出这列普通快车在行驶途中与迎面而来的相邻两列动车组列车相遇的时间间隔．

答案与点拨： 1. 4（提示：由（2，200），（3，350）可得函数解析式，再把y=800代入）2. A 3. （1）晚0.5甲、乙两城相距300 km（2）图象略.（3）①易知普通快车运行时间为3 h.故C（3.5，0），s=-100t+350，自变量t的取值范围是0.5≤t≤3.5； ②1 h；③h.

解此类题的关键是正确解读图象信息，弄清两坐标轴所表示的变量的实际含义，准确理解每段函数图象所表示的实际状态.第1题中第一段折线表示的是甲播种机2天播种200亩，第二段折线的“200~350”中的150亩，表示由甲、乙两机共同播种1天.第2题中，平行于x轴的一段图象表示的是△ABP的面积y在4≤x≤9时始终不变，为定值，于是可得出CD=5.第3题应注意，各列动车组列车的函数图象都与OA平行，相邻图象与t轴的交点相隔为1.

4. （2007年·福州）已知一次函数y=（a-1）x+b的图象如图5所示，那么a的取值范围是（）.

A． a>1B． a<1C． a>0D． a<0

5. （2008年·哈尔滨）小亮从家去学校所走的路程为900 m.某天他从家去上学时，以每分钟30 m的速度行走了450 m.为了不迟到他加快了速度，以每分钟45 m的速度走完剩下的路程.那么小亮行走的路程y（单位：m）与他行走的时间t（单位：min）之间的函数关系用图象表示应是（）．

答案与点拨： 4. A5. D

解答此类问题需要熟练掌握一次函数的图象和性质.第4题自变量x 的系数a-1>0，勿因思维定式得出a>0.第5题应根据小亮在后面的路程中加快了速度而得出后段图象比前段图象“上升”得要快些，从而快速得到答案.

（一）根据图象提供的信息，求函数解析式.

6. （2008年·南昌）在平面直角坐标系中，有A（0，1），B（-1，0），C（1，0）．

（1）若点D与这三点构成平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标；

（2）求直线BD的解析式．

7. （2008年·广安）汶川地震发生后，广安先后有两批自愿者分别乘客车和出租车沿相同路线从广安赶往重灾区平武救援.图6表示其行驶过程中行驶的路程s（单位：km）随时间t（单位：h）变化的图象．

（1）根据图象，分别写出客车和出租车行驶过程中s与t之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；（2）客车和出租车行驶的速度分别是多少？

答案与点拨： 6. （1）符合条件的点D的坐标分别是D1（2，1），D2（-2，1），D3（0，-1）；（2）略.7. （1）客车s=40t，出租车s=100t-200；（2）客车40 km/h，出租车100 km/h.

解答此类问题，要根据已有图象确定直线上两个或一个（若为正比例函数）点的坐标，再用待定系数法，求出相应的函数解析式.第6题中应注意多种情况的讨论.第7题则要注意速度与x的系数的关系.

（二）根据几何图形提供的信息，求函数解析式.

8. （2008年·长沙）在平面直角坐标系中，一动点P（x，y）从点M（1，0）出发，沿由A（-1，1），B（-1，-1），C（1，-1），D（1，1）四点连成的正方形（如图7①）的边线按一定方向运动.图7②是P点运动的路程s与运动时间t之间的函数图象，图7③是P点的纵坐标y与P点运动的路程s之间的函数图象的一部分.

（1）s与t之间的函数关系式是：.

（2）与图7③相对应的P点的运动路径是：.

（3）写出当3≤s≤8时，y与s之间的函数关系式，并在图7③中补画函数图象.

9. （2008年·武汉）（1）点（0，1）向下平移2个单位后的坐标是，直线y=2x+1向下平移2个单位后的解析式是.

（2）直线y=2x+1向右平移2个单位后的解析式是.

答案与点拨： 8. （1）s= t（t≥0）（2）M→D→A→N（3）当3≤s<5，即P从A到B时，y=4-s；当5≤s<7，即P从B到C时，y=-1； 当7≤s≤8，即P从C到M时，y=s-8．图象略．9. （1）（0，-1）y=2x-1（2）y=2x-3

解答此类题的关键，是在熟练掌握图形的几何性质与函数图象性质的基础上，实现动与静的相互转化，在图形的运动变化中寻求关键点与不变量（常量）.第8题应注意动点P的几个关键位置，从而正确地进行分类讨论.第9题应把握图形平移的性质：（1）直线沿某方向平移几个单位，则直线上的任一点均沿该方向平移几个单位；（2）平移过程中直线解析式中一次项的系数不变10. （2008年·乌鲁木齐）一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象如图8所示，则关于x的不等式kx+b>0的解集是（）.

A. x<-2 B. x>-2 C. x>2 D. x<2

11. （2008年·武汉）如果直线y=kx+b经过A（-2，-1）和B（-3，0）两点，则不等式 x

答案与点拨： 10. B11. -3

准确理解一次函数与不等式（组）的关系（见本文开头知识列表），则此类问题可迎刃而解.将一次函数与不等式或方程问题进行转化，是解决相关数学问题的一种重要方法.第11题既可以由待定系数法求出k、b，再解不等式，也可根据图象求解.

12. （2008年·乌鲁木齐）某公司在A、B两地分别库存挖掘机16台和12台，现在运往甲、乙两地支援建设，其中甲地需要15台，乙地需要13台．从A地运一台到甲、乙两地的费用分别是500元和400元；从B地运一台到甲、乙两地的费用分别是300元和600元．设从A地运往甲地x台挖掘机，运这批挖掘机的总费用为y元．

（1）请填写下表，并写出y与x之间的函数关系式.

（2）公司应设计怎样的方案，才能使运这批挖掘机的总费用最少？

答案与点拨： 12. （1）填表略.y=400x+9 100.（2）因x-3≥0且15-x≥0，故3≤x≤15，又y随x的增大而增大，故当x=3时，运这批挖掘机的总费用最少，运送方案是：A地的挖掘机运往甲地3台，运往乙地13台；B地的挖掘机全部运往甲地.

解此类问题的步骤是：（1）根据问题中提供的各个量之间的关系，建立函数模型；（2）在实际意义下，全面考虑各个变量的范围；（3）借助函数性质，对实际问题进行分析，计算出结果或借助计算结果进行最优方案设计.注意，正确确定变量范围是解题关键，否则容易错解或漏解.

在中考中，除了上述常见题型外，一次函数和后面要学到的反比例函数、二次函数相结合的综合题也较常见.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文