进一步认识函数

田载今

为了帮助同学们进一步认识函数，下面在教科书的基础上再补充介绍一些知识，供学有余力的同学参考.

1. 一元函数

现实生活中处处可见变量.例如，某地的电话费为每分钟0.1元，那么打5分钟电话要用0.5元，打8分钟电话要用0.8

元，打10分钟电话要用1元……随着通话时间的变化，电话费也在变化.这里“通话时间”与“电话费”是两个不同的变量，它们之间存在对应关系.

初中数学教科书中，对于函数有如下的定义：

在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么x叫做自变量，y叫做x的函数.

上面例子中的“通话时间”就是一个自变量，“电话费”是“通话时间”的函数.如果问题中只涉及两个变量，其中一个变量是自变量，另一个变量是函数，则这样的函数叫做一元函数.这里的“元”是指自变量.一元函数是指有一个自变量的函数，它是反映两个变量之间的对应关系的数学概念.目前，中学数学中讨论的函数都属于一元函数.

2. 多元函数

有些问题中涉及三个或更多的变量间的对应关系.例如，随着长方形的长a和宽b取值的变化，长方形的面积S会发生变化.当a=2，b=1.5时，S=3；当a=5，b=3时，S=15……这里的a、b是两个自变量，S是a、b的函数，这是一个二元函数.类似地，随着长方体的长a、宽b、高c取值的变化，长方体的体积V会发生变化.当a=3，b=2，c=1时，V=6；当a=5，b=3，c=2时，V=30……这里的a、b、c是三个自变量，V是a、b、c的函数，这是一个三元函数.二元及二元以上的函数叫做多元函数.多元函数是反映一个变量与一组变量（两个或更多的变量组成的自变量组）之间的对应关系的数学概念.在微积分（一个在高中会初步接触，在大学将深入研究的数学分支）教程中，在讨论一元函数的基础上，对多元函数会有进一步的讨论.

学习函数的概念时，不要因为函数一词中有“数”这个字，就以为函数也像整数、分数、有理数等是某类数的名称.其实，函数指的是一个变化过程中的某个变量，它相对于另一个变量（自变量）有唯一确定的对应关系.表示一个函数，实际上就是要反映这种对应关系.

函数通常有三种表示方法，即列表法、图象法和解析式法.

三种函数表示法，分别以不同形式表示变量间的对应关系.能用列表法或图象法表示的函数，未必能列出其解析式.解析式法以式子形式反映了变量之间的对应关系，是数学中表示函数的主要方法.一般地，对于用解析式法表示的函数，通过取特殊值、列表，用描点法可以绘出函数图象.然而，也存在可以用解析式表示但不能绘出具体图象的函数，例如y=2x（x是有理数），x+1（x是无理数）.由于数轴上的有理数点与无理数点都是处处存在而又处处不连续的，所以我们只能想象出这个函数的图象是由无数个间断点沿两条直线的位置排列而成的，但不能绘出具体图象.

1. 多项式函数

我们学习过多项式的概念.只含有一个字母的多项式，如3a+5，2b２+3b-6，c4+2c3-3c２-2c+1等，叫做一元多项式.如果用x表示字母，则一元n次多项式的一般形式为a0xn+a1xn-1+…+an，其中a0，a1，…，an是常数，并且a0≠0.形式为y=a0xn+a1xn-1+…+an的函数叫做n次多项式函数（简称n次函数），其中字母x表示自变量，a0，a1，…，an是常数，并且a0≠0.例如，y=6x3+3x2-2x+1，y=3x2+2x-5分别是三次函数和二次函数.多项式函数是最基本的一类代数函数，其自变量的取值范围为全体实数.

2. 一次函数

一次函数y=kx+b的图象是一条直线（可以称它为直线y=kx+b），而其他多项式函数的图象都是曲线（如二次函数的图象是抛物线），因此一次函数也叫做（直）线性函数.

一次函数y=kx+b中，当x=0时，y=b.由此可知，直线y=kx+b与y轴交于点（0，b），于是常数b叫做直线y=kx+b在y轴的截距.

以函数y=x+1，y=-x+1，y=2x+1，y=-2x+1的图象为例（图1），可以发现：｜k｜值越大，直线越“陡”.常数k的值决定了直线y=kx+b的倾斜程度，于是k叫做直线y=kx+b的斜率.

斜率和截距能表示y=kx+b中两个常数的几何意义，y=kx+b也叫做直线的斜截式.它在高中要学习的解析几何中常常用到.

比较等式y= x-2和4x-3y=6，可以发现，虽然两式的表达形式不同，但是对于表示x与y的关系，它们具有相同的意义.从其中任一式子，可以推出另一式子.

像y= x-2这样的等式，一边是单独一个字母y，另一边是关于字母x的解析式，可以明显地表示y是x的函数，所以这种式子叫做显函数的表达式.像4x-3y=6这样的等式，虽然不是显函数形式，但是隐含了两个变量之间的某种函数关系，所以这种式子叫做隐函数的表达式.有些表面上看不出与函数有关的问题，其实包含了隐函数关系，可以转化为与函数相关的问题来解决.例如，解二元一次方程组4x-3y=6，2x+y=3，如果能看出两个方程是隐函数，它们分别对应一次函数y= x-2与y=-2x+3，就能够想到，解这个二元一次方程组，可以转化为画出两个函数的图象，看看它们的交点在哪里.交点的坐标同时满足两个函数关系，因而是两个方程的公共解.于是，有图2所示的图象解法，得方程组的解为x=1.5， y=0.

同学们，读过以上内容后，你对函数有没有新的认识？

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文