收费中的一次函数

庄亿农

我们生活中常遇到各种各样的收费问题，如出租车费、自来水费、通讯费、上网费等.很多收费问题都与一次函数有关，都可以用一次函数知识来解释．

例1（2008年·徐州）为缓解油价上涨给出租车行业带来的成本压力，某巿自2007年11月17日起，调整出租车运价.调整方案见下表及图1（其中a、b、c为常数）.

设行驶路程为x km时，调价前的运价为y1元，调价后的运价为y2元.图1中折线ABCD表示y2与x之间的函数关系，线段EF表示当0≤x≤3时，y1与x的函数关系.根据图表信息，完成下列各题.

（1）填空：a= ，b= ，c= .

（2）写出当x>3时，y1与x的函数关系式，并在图1中画出该函数的图象.

（3）函数y1与y2的图象是否存在交点？若存在，求出交点的坐标，并说明该点的实际意义；若不存在，请说明理由.

解析：（1）由图1知，调价后起步价是7元，故a=7.超过3 km不超过6 km的部分，每千米（11.2-7）÷（6-3）=1.4（元），故b=1.4. 超过6 km的部分，每千米（13.3-11.2）÷（7-6）=2.1（元），故c=2.1.

（2）由题意得y1=6+（x-3）×2.1，即y1=2.1x-0.3.函数图象如图2.

（3）通过观察图2可发现，y1与y2的图象有交点，且交点在线段BC上. BC段的函数关系为y2=7+（x-3）×1.4，即y2=1.4x+2.8.解方程组（由y1，y2联立而得）y=2.1x-0.3，y=1.4x+2.8，得x= ，y=9.所以交点坐标为 ，9，其实际意义为：当x< 时，调价前出租车运价较低；当x> 时，调价后出租车运价较低．

例2（2008年·襄樊）我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采取以户为单位分段计费的办法收费.一月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收水费a元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨a元收费，超过10吨的部分，按每吨b元（b>a）收费．设一户居民月用水x吨，应交水费y元，y与x之间的函数关系如图3所示．

（1）求出a的值.若某户居民上月用水8吨，应交水费多少元？

（2）求出b的值，并写出当x>10时，y与x之间的函数关系式.

（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共交水费46元，求他们上月分别用水多少吨.

解析：（1）当x≤10时，有y=ax．将x=10，y=15代入，得a=1.5．用8吨水应交水费1.5×8=12（元）．

（2）当x>10时，有y=b（x-10）+15．将x=20，y=35代入，得35=10b+15．b=2．故当x>10时，y=2x-5．

（3）易知甲、乙两家上月用水均超过10吨（假设一家用水10吨，另一家用水14吨，两家共交费10×1.5+10×1.5+4×2=38（元），尚不到46元）．

设甲、乙两家上月用水分别为x吨、y吨，则y=x-4，2y-5+2x-5=46.解得x=16，y=12.故居民甲上月用水16吨，居民乙上月用水12吨．

例3（2008年·宁波）某电信公司提供了A、B两种通讯方案.图4中的折线分别表示两种方案中通讯费用y（单位：元）与通话时间x（单位：分）之间的关系.则以下说法错误的是（）.

A． 若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜20元

B． 若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜12元

C． 若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多

D． 若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间分别是145分、185分

解析：这是一道选择题，可通过排除的方法来确定正确答案．

从图中可以看出，若通话时间少于120分，A方案费用为30元，B方案费用为50元，A方案比B方案便宜20元，故A是正确的.

可设A方案通话时间超过120分时的一次函数关系式为y1=k1x+b1，把（120，30）和（170，50）代入得120k1+b1=30，170k1+b1=50，解得k1=0.4，b1=-18，所以y1=0.4x-18；设B方案通话时间超过200分时的一次函数关系式为y2=k2x+b2，把（200，50）和（250，70）代入得200k2+b2=50，250k2+b2=70，解得k2=0.4，b2=-30，所以y2=0.4x-30．因为当x>200时y1-y2=0.4x-18-（0.4x-30）= 12，所以B方案比A方案便宜12元，故B是正确的.

当y=60时，代入y1=0.4x-18，得x=195；代入y2=0.4x-30，得x=225．所以B方案比A方案的通话时间多225-195=30（分）．故C是正确的（此结论也可以直接由图象得到）.

这样只有D是不正确的（同学们可以自己考虑）.故应选D．

点评：收费问题多数都涉及分段函数，因此在利用一次函数解决问题时，一定要先确定自变量的范围，然后分段列出相应的函数关系式．

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文