用量纲快速探究或判断问题的结论

金松英

一、用量纲探究物理表达式

在人教版必修Ⅱ第七章的第5节《探究弹性势能的表达式》中，在推想弹性势能可能与哪几个物理量有关的时候，有人推想弹性势能与弹簧的劲度系数、弹簧的伸长量x有关，但究竟是与x的一次方、与x的二次方、还是与x的三次方或二次根号有关呢？此时我们不妨通过量纲帮助思考．

（1）若弹性势能E_p∝2kx，由于劲度系数k的单位是N/m，弹簧伸长量x的单位是m，则kx的单位是N．

（2）若弹性势能E_p∝kx²，由于劲度系数k的单位是N/m，弹簧伸长量x的单位是m，则kx²的单位是Nm．

（3）若弹性势能E_p∝kx³，由于劲度系数k的单位是N/m，弹簧伸长量x的单位是m，则kx³的单位是Nm²．

而能的单位为焦耳，根据W=Fscosθ知：1J=1N•m，从（1）（2）（3）对单位的计算，可以得到启示：E_p∝kx²．

同样在人教版第七章的第6节《探究功与物体速度变化的关系》中，推想功与v、与v²、还是与v³……的关系时，可用表格法与作图法，其实我们也可以从量纲的角度得到启示，因为橡皮筋所做的功W与小车的质量m、小车的速度变化有关．

（1）若橡皮筋所做的功W与小车的质量m、小车变化的速度v成W∝mv，由于m的单位是kg，v的单位是m/s，则mv的单位是kg•m/s．

（2）若橡皮筋所做的功W与小车的质量m、小车变化的速度v成W∝mv²，与（1）同理可得mv²的单位是kg•m²/s²，可导出是1kg•m²/s²=1N•m=1J．

由以上可得到启示：功与速度的变化关系应是W∝mv²，用量纲来探究表达式，可以省去许多具体数字的运算以及比较精细的表格作图，同时用量纲我们还可以对比较复杂的字母题进行快速解答和验证．

二、对字母题的答案进行解答和验证

每年的高考物理题中，总有字母题，许多考生对字母题感到很棘手，对最后的答案也表示怀疑，特别是答案比较复杂的，那么怎样才能以更快的速度来粗略判断答案的正确性呢？下面我们通过例题来说明．

【例1】 用下列哪组数据可算出阿伏加德罗常数（）.

A．水的密度和水的摩尔质量

B．水的摩尔质量和水的体积

C．水分子的体积和水分子的质量

D．水分子的质量和水的摩尔质量

解析：因为所要表达的阿伏加德罗常数的单位是“摩尔”，从所给的选项可知，只有选项D可以得到这个单位，故只有D是正确答案．

【例2】 一平行板电容器带电量为Q，两极板的正对面积为S，间距为d，极板间充满介电常数为ε（无单位）的电介质，则极板间的场强为（）.