三个“二次”问题的探究

李生忠

二次函数、一元二次方程和一元二次不等式这三部分知识是一个有机整体,关系密不可分,且贯穿于整个代数内容的学习中,是高考考查的热点之一.因而注意它们之间的关系,分析它们内在的联系,归纳解题规律,提升解题技巧,做好转换,能用函数思想来研究方程和不等式,则可收到意想不到的解题效果,本文就此作了一些分析和探讨.

一、常见结论

1．二次函数的基本性质

（1）二次函数的三种表示法

（I）一般式：y=ax²+bx+c(a≠0);

（II）顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0);

（III）两根式：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0).

（2）一般式：y=ax²+bx+c(a≠0)的图象和性质

（I）以x0=-b2a为对称轴.特别地,当b=0时,y轴为其对称轴,且为偶函数;

（II）开口方向由a决定,a>0时开口向上,a<0时开口向下;c为抛物线在y轴上的截距,顶点坐标为(-b2a,4ac-b²4a);

（III）单调性：以对称轴x0=-b2a为界,两侧具有相反的单调性.

（3）对f(x)=a(x-h)²+k(a≠0),x∈［p,q］的最值问题,最好用图象法.

（I）尤其是当“轴变区间定”和“轴定区间变”时,这两种情况利用图象作参考找出讨论时分类的标准.

（II）“轴定区间也定”的最值：

①若h∈［p,q］,则计算f(h),f(p)和f(q),比较三者,较大者为最大值,较小者为最小值;

②若h［p,q］,则只需计算f(p)和f(q),两者当中较大者为最大值,较小者为最小值.

2．二次方程f(x)=ax²+bx+c=0(a>0)的实根分布及条件