聚焦实数应用题

康海芯

数学知识来源于生活,又服务于生活.实数也是因为生产､生活的实际需要而产生的,同样,它在日常生活､工农业生产等各个领域都有广泛的应用.

一､在日常生活中的应用

例1 生活经验表明,靠墙摆放梯子时,若梯子低端离墙的距离为梯子长度的时,则梯子最稳定.现有长度为4 m的梯子,斜靠墙后顶端距离地面3 m高.问:这时梯子是否稳定?

分析: 先利用勾股定理计算出此时梯子底端离墙的距离,然后计算这个距离与梯子长度的比值是否接近,从而判断其稳定性.

解:设梯子底端离墙有x m远.

根据勾股定理得x2+32=42,即x2=7,则x=.

计算可知≈0.66,这与相差较多,所以此时梯子不稳定.

评注: 本题考查勾股定理､平方根的实际应用.要能够估算简单的平方根的值,对复杂的数,开平方可以用计算器求解.

二､在交通事故调查中的应用

例2 根据汽车刹车后车轮向前滑过的距离,可以估计汽车行驶的速度.有一个经验公式v=16,其中v表示车速(单位:km / h),d表示刹车后向前滑过的距离(单位:m),f表示摩擦系数.在某次交通事故调查中,测得d=12 m,f=3,则肇事汽车的车速大约是多少?

分析:把d､f的值代入经验公式,运用算术平方根可以求得v的值.

解:因为d=12 m,f=3,所以v=16=16×6=96(km / h).

所以肇事汽车的速度约为96 km / h.

评注: 本题是算术平方根的直接运用.

三､在国民经济规划中的应用

例3 党中央提出全面建设小康社会,加快推进社会主义现代化,力争2020年国民生产总值在2000年的基础上翻两番.如果以十年为一个时间段,并设每一个十年的国民生产总值的增长率都是x,则x的值是多少?

分析:设2000年国民生产总值为a,则第一个十年后(2010年)翻一番为2a;第二个十年(2020年)又在第一个十年的基础上翻了一番(即总共翻了两番),总产值为4a.再根据增长率的意义,2010年产值可表示为a(1+x),2020年产值可表示为[a(1+x)](1+x)=a(1+x)2,于是可以列方程求解.

解:设2000年国民生产总值为a,则得a(1+x)2=4 a,即(1+x)2=4.

所以1+ x=±2,x=1=100%.

评注: 要注意理解“翻两番”的含义和增长率的含义.其中增长率都是在上一次的基础上计算的.

四､在航天科技中的应用

例4 要使“神六”能绕地球运转,必须使它的速度大于第一宇宙速度而小于第二宇宙速度.第一宇宙速度的计算公式是v1=,第二宇宙速度的计算公式是v2=,其中g=9.8 m / s2,R=6.4×106 m.求 “神六”绕地球运转时的速度范围.(结果保留2个有效数字)

分析:把g=9.8m / s2,R=6.4×106 m代入第一､第二宇宙速度的计算公式,运用算术平方根可以求得“神六”绕地球运转时的速度范围.

解:因为g=9.8m / s2,R=6.4×106 m,所以第一宇宙速度v1==≈8.0×103(m / s),第二宇宙速度v2==≈1.1×104(m / s).

所以,“神六”绕地球运转时的速度范围是大于8.0×103 m / s且小于1.1×104 m / s.

评注: 将科技知识与开方运算结合起来,既增加了趣味性,又考查了实数运算的能力.本题还要注意有效数字的取法.

注:本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文