勾股定理及其逆定理的联用

张现云

我们知道，勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其逆定理是判定直角三角形的一种重要方法．综合应用勾股定理及其逆定理，可以解决很多几何问题．其一般步骤是：先应用勾股定理的逆定理证明已知图形（或适当添加辅助线后的图形）中的某个三角形为直角三角形，然后再应用勾股定理解决问题．

例１ 如图１，已知AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=2，求∠DAB的大小．

解析：欲求∠DAB，须先把它转化为三角形的内角或几个内角和．连接AC，易知△ABC为等腰直角三角形,则∠BAC=45°．从而，欲求∠DAB的大小，只须求出∠DAC的大小.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=2．在△ACD中，AC2+AD2=（2）2+22=12=（2）2=CD2，由勾股定理的逆定理可知△ACD为直角三角形，∠DAC=90°.

所以∠DAB=∠BAC+∠DAC=４５°＋９０°＝135°．

例２ 如图２，在△ABC中，AB=17，∠C=60°，D是BC上一点，且BD=15，AD=8，求AC．

解析：在△ADC中，已知一边及其对角，要求另一边．若△ADC不是特殊三角形，则难以求解．因此，必须首先判定△ADC的形状，然后再解决计算问题．

在△ADB中，AD2+BD2=82+152=172=AB2，由勾股定理的逆定理可知，△ADB为直角三角形，所以∠ADB=90°．所以∠ADC=90°．

在Rt△ADC中，因为∠C=60°，所以∠CAD=30°．设DC=x，则AC=2x．由勾股定理，得x2+82=（2x）2，即3x2=64．

所以x=.故AC=2x=.

例3 如图3，在△ABC中，AB=10，AC=6，ＢＣ边上的中线AD=4.求BC．

解析：已知两边和第三边上的中线长，在已知图形中不能直接求得第三边的长．因此必须添加适当的辅助线，把已知长度的三条线段移到一个三角形中，然后再判定此三角形的形状，从而找到解题的途径．

延长AD到E，使DE=AD=4，连接CE，则AE=8．易证△ADB≌△EDC（ＳＡＳ），所以CE=AB=10．

在△AEC中，AE2+AC2=82+62=102=CE2，由勾股定理的逆定理可知，△AEC是直角三角形，∠CAE=90°．

在Rt△ADC中，由勾股定理得

DC===2．

∴ BC=2DC=4．

例4 如图4，在△ABC中，AD是BC边上的高，且AB2=BD·BC．求证：AB⊥AC．

解析：由勾股定理的逆定理可知，欲证ＡＢ⊥ＡＣ，只须证AB2+AC2=BC2即可．在Rt△ADB中，由勾股定理，得AB2=AD2+BD2．因为AB2=BD·BC，所以AD2+BD2=BD·BC.整理得AD2=BD·BC-BD2=BD·（BC-BD）=BD·DC．在Rt△ADC中，由勾股定理，得AC2=AD2+DC2．所以 AB2+AC2=AD2+BD2+AD2+DC2=2AD2+BD2+DC2=2AD2+（BD+DC）2－2BD·DC=BC2+2（AD2-BD·DC）=BC2．由勾股定理的逆定理可知，△ABC为直角三角形，∠BAC=90°．所以AB⊥AC．

1． 在△ABC中，AB=１０ cm，AC=17 cm，D是BC上一点，且BD=6 cm，AD=8 cm．求CD的长．

2． 四边形ＡＢＣＤ中，已知AB=12，BC=9，CD=8，AD=17，且AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．

练习题提示：

1. 先证△ABD为直角三角形，然后再应用勾股定理求CD．

2． 连接AC，并应用勾股定理求出AC，然后应用勾股定理的逆定理证∠ACD=90°．

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文