勾股定理错解剖析

李艳梅

勾股定理是几何中一个应用广泛的定理.不少同学在学习勾股定理时,由于马虎,在做题时总出现这样那样的错误.现就同学们常见的错误剖析如下.

一､受“勾三股四弦五”的影响,忽视分情况讨论

例1 一个直角三角形的两边长分别为3和4,求第三边长的平方.

错解: 因为两边长分别为3和4,所以由“勾三股四弦五”可知,第三边的长为5,所以第三边长的平方为25.

剖析: 题目中并没有指出3和4是直角三角形的两条直角边的长.造成错误的原因是思维定势,受“勾三股四弦五”的影响而忽视了分情况讨论.

正解:应分两种情况:

(1)若已知的两边长是直角边长,则第三边是斜边.

根据勾股定理,得斜边长为=5.所以第三边长的平方为25.

(2)若已知的两边长是一条直角边长和斜边长,则较大的是斜边长.第三边是另一条直角边.

根据勾股定理,得另一直角边长为=.所以第三边长的平方为7.

综上,第三边长的平方为25或7.

二､忽视勾股定理的应用条件

例2 如图1,△ABC中,AB=10,BC=12, BC边上的中线AD=8.求证:AB=AC.

错解: 因AD为中线,所以CD=BC=6.又AD=8,所以在Rt△ACD中,由勾股定理可得AC===10.而AB=10,所以AB=AC.

剖析: 由于受结论及题图的影响,加上AD为中线的条件,很多同学不进行推证,便直接认为△ACD为直角三角形,从而导致了错误.

正解:因为AD为中线,故BD=CD=BC=6.又AB=10,AD=8,并且62+82=102,即BD2+AD2=AB2,所以△ABD为直角三角形,即AD⊥BC.所以在Rt△ACD中,由勾股定理,可求得AC=10.所以AB=AC.

三､忽视勾股定理表达式中的结构特点

例3 在△ABC中,∠A=90°,∠A､∠B､∠C所对的边长分别为a､b､c,a=13,b=5.求c.

错解: 由勾股定理,得a2+b2=c2,所以c==.

剖析: 错解的原因在于忽视了勾股定理的本质特点,只注意到了表面形式.当∠C=90°时,勾股定理的表达式为a2+b2=c2.而当∠A=90°时,勾股定理的表达式应为b2+c2=a2.

正解:因为在△ABC中,∠A=90°,所以由勾股定理,得b2+c2=a2.

所以c====12.

四､忽视对图形的讨论

例4 已知△ABC中,AB=20,AC=15,BC边上的高AD=12,求△ABC的面积.

错解: 如图2,在Rt△ABD中,BD===16.在Rt△ACD中,CD===9.所以BC=16+9=25.

所以S△ABC=BC×AD=×25×12=150.

剖析: 错解中只考虑了三角形的高在三角形内部的情况,实际上,高还有可能在三角形外.

正解: 当AD在△ABC内部时,如上解,BC=BD+CD=25.

S△ABC=BC×AD=×25×12=150.

当AD在△ABC外部时,如图3,由勾股定理可求出BD=16,CD=9.故BC=BD-CD=7.

S△ABC=BC×AD=×7×12=42.

所以△ABC的面积为150或42.

注:本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文