“数的开方”典例分析

万金彪

学习数的开方时,熟记有关概念､性质､公式固然是必要的,但灵活运用这些知识去解题更重要.下面通过几道典型例题加以说明.

1.平方根与几何知识的结合问题

例1 已知△ABC三边长分别为a､b､c,a和b满足+b2-6b+9=0,则c的取值范围是.

分析:由+b2-6b+9=0可看出,本题是非负数之和等于0的问题.可使每个非负数为0,求出a､b的值,然后再根据三角形三边关系定理求出c的取值范围.

解:由题设可得,+b2-6b+9=+(b-3)2=0.根据非负数性质可知a-2=0且b-3=0.所以a=2,b=3.由三角形三边关系定理,得1

2.算术平方根性质应用问题

例2 已知y=+-1,求yx的值.

分析:本题特点是两个算术平方根的被开方数互为相反数,根据被开方数的非负性质知5-x≥0且x-5≥0,所以x=5.再求y值,即可得y x.

解:由题意,得5-x≥0且x-5≥0,所以x=5.当x=5时,y=-1.所以yx=(-1)5=-1.

3.隐含条件问题

例3 化简:()2+.

分析:本题应先找出隐含条件x-2≥0,即x≥2,再利用隐含条件化简.

解:因为x-2≥0,故x≥2,所以2x-1≥3.

原式=x-2+2x-1=x-2+2x-1=3x-3.

4.平方根与立方根的区别问题

例4 若+有意义,求x的取值范围.

分析:在中2x-1≥0,而中的1-x可以取任意实数,故只讨论2x-1≥0,即可得x的取值范围.

解:因为+有意义,所以2x-1≥0,x≥.

5.大小比较问题

例5 试比较+与+1的大小.

分析:常见的比较方法有求差法､取倒数法､取绝对值法和平方法等.本题可用平方法.

解:(+)2=5+2,(+1)2=6+2=5+(1+2).再比较2与1+2的大小.(2)2=24=21+3,(1+2)2=21+4.再比较3与4的大小,得3<4.所以+<+1.

6.“双重根式”的化简问题

例6 化简:.

分析:本题是特殊的“双重根式”.特点一,有双重根号,且小根号前有系数2;特点二,9和20是正整数且满足4+5=9,4×5=20,可运用配方法.

解:原式==

==+=2+.

说明:由此可得规律:对,若有m+n=a,mn=b(字母均为正数),则=±.

注:本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文