巧用勾股定理

周奕生

勾股定理历来是中考命题的热点之一.不论是课改前还是课改后,在以直角三角形为舞台的问题中,勾股定理始终是主角.下面介绍勾股定理的一些运用技巧.

一､结合方程

例1 如图1,将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上的F点处.已知CE=3,AB=8,则图中阴影部分的面积为.

解析:由已知条件和图形易得EF=DE=5,从而由勾股定理知CF=4.设BF=x,则AF=AD=BC=x+4.在Rt△ABF中,由勾股定理,得82+x2=(x+4)2,解得x=6.

故阴影部分的面积S=BF·AB+CF·CE=×6×8+×4×3=30.

点评:结合方程运用勾股定理是最常见的一种运用技巧.这种方法一般是假设直角三角形某一边的长为x,求出其他两边的长(用含x的代数式表示),然后根据勾股定理列出关于x的方程.

二､结合完全平方公式

例2已知某直角三角形的周长为4+2,斜边上的中线长为2,求这个三角形的面积.

解析:由斜边上的中线长为2,得斜边长c=4.设两直角边长分别为a､b,则a+b=2.

上式两边平方,得a2+b2+2ab=24.①

由勾股定理,a2+b2=c2,得a2+b2=16.②

把②代入①,得16+2ab=24,解得ab=4.

所以三角形的面积S=ab=2.

点评:将勾股定理与完全平方公式放在一起进行对比,可以发现它们之间具有某种形式上的联系.当已知斜边及两直角边的和时,结合完全平方公式可以直接求得面积.

三､创造条件

当题目中没有现成的直角三角形时,勾股定理便无用武之地.此时,解决问题的关键在于构造直角三角形.

例3 如图2,点P是等边△ABC内的一点,连接PA,PB,PC.以BP为一边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连接CQ.

(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并证明你的结论.

(2)若PA∶PB∶PC=3∶4∶5,连接PQ,试判断△PQC的形状,并说明理由.

解析:第(1)问并不难,由∠PBQ=60°,且BQ=BP,以及BC=BA,可知△QBC是由△PBA绕点B顺时针方向旋转60°得到的,因此,易知AP=CQ.对于第(2)问,从PA∶PB∶PC=3∶4∶5及32+42=52,由勾股定理逆定理不难想到:如果PA､PB､PC是某个三角形的三边,则PC所对的角是直角.因此,如何构造以PA､PB､PC为边的三角形就成了解决问题的关键.

(1)猜想:AP=CQ.

证明:∵∠ABC=∠PBQ=60°,

∴∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC=∠CBQ.

在△ABP与△CBQ中,AB=CB,BP=BQ,∠ABP=∠CBQ,

∴△ABP≌△CBQ(SAS).

∴AP=CQ.

(2)由PA∶PB∶PC=3∶4∶5,可设PA=3a,PB=4a,PC=5a.

△PBQ为等边三角形,所以PQ=PB=4a.由(1)知QC=PA=3a.

于是在△PQC中,PQ2+QC2=16a2+9a2=25a2=PC2.

所以△PQC是直角三角形.

点评:解决第(2)问的关键,是抓住题目中的信息“3∶4∶5”,联想到“勾三股四弦五”,然后将这三条线段转换到同一个三角形中,让勾股定理的逆定理发挥作用.

注:本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文