勾股定理与数学思想的联用

吴　平

正确运用数学思想是成功解题的关键所在.若能正确把握数学思想,可使思路开阔,解法简洁.现举例说明,供同学们参考.

一､方程思想

例1 如图1,把长方形纸片ABCD折叠,使点D落在BC边上的点F处.折痕为AE.若AB=12 cm,BC=13 cm,则EC= cm.

解析:根据折纸的特点知,AF=AD=13 cm.

设EC=x cm,则EF=DE=(12-x) cm.

在Rt△ABF中,

BF===5(cm).FC=BC-BF=13-5=8(cm).

在Rt△ECF中,由勾股定理得EF2=EC2+FC2.

故 (12-x)2=x2+82.解得x=.所以EC= cm.

点评:在只知道直角三角形一边长时,可先设出一边长,然后再根据题设条件用未知数表示出另一边长,最后利用勾股定理建立方程求解.折叠问题中有不少相等的线段和角,解题时要充分利用这些条件.

二､分类讨论思想

例2在△ABC中,AB=15,AC=20,BC边上的高AD=12,试求BC的长.

解析:三角形中某边上的高既可在三角形内部,也可在三角形外部,故此题应分两种情况来考虑.

当BC边上的高AD在△ABC的内部时,如图2,由勾股定理,得BD2=AB2-AD2=152-122=81,所以BD=9.

CD2=AC2-AD2=202-122=256,所以CD=16.

则BC=BD+CD=25.

当BC边上的高AD在△ABC的外部时,如图3,同样由勾股定理可求得CD=16,BD=9,此时,BC=CD-BD=16-9=7.

故BC的长为25或7.

点评:涉及高的问题,通常需要考虑三角形的各种可能情况:锐角三角形,直角三角形,钝角三角形.

三､转换思想

例3 如图4,圆柱形玻璃容器高18 cm,底面周长为60 cm.在容器外侧距下底1 cm的点A处有一只蜘蛛,与蜘蛛正对的容器外侧距开口处1 cm的点B处有一只苍蝇.蜘蛛要想捉到苍蝇,至少要爬多远?

解析:如图5,将圆柱侧面展开得到矩形MNQP,过点B作BC⊥MN于点C,连接AB,则线段AB的长度即为蜘蛛要爬的最短路程.

在Rt△ABC中,AC = MN-AN-CM =18-1-1= 16(cm).BC是底面的圆周周长的一半,即BC = 30 cm.

由勾股定理,得

AB2 =AC2+BC2=162+302=1 156,AB= 34 cm.

故蜘蛛至少要爬34 cm才能捉到苍蝇.

点评:本题是求圆柱侧面上两点间最短路线的问题,解题的关键是将曲线变为直线,构造直角三角形,为运用勾股定理创造条件.在长方体表面上也有类似的问题.

四､整体思想

例4 如图6,D是Rt△ABC斜边AB上的一点.DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为E､F,且DE=DF.若AD=3,DB=4,则S△ADE+S△BDF= .

解析:要求S△ADE与S△BDF的和,由于只知道AD和DB的长,按照常规的方法,运用面积公式求面积条件不足,于是考虑从整体上求解.

设BF=m,AE=n,DE=DF=FC=EC=a.由勾股定理,得

n2+a2=32,①

m2+a2=42, ②

(n+a)2+(m+a)2=(3+4)2.③

由③得n2+2na+a2+m2+2ma+a2=49.将①､②代入有2na+2ma=24.na+ma=12.故S△ADE+S△BDF=(na+ma)=6.

点评:考虑整体思想的应用,所求问题即可明朗.事实上,本题并不需要分别求出m､n､a,而且由①､②､③求出m､n､a也很不容易.

注:本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文