反证法及其应用

刘唐军

反证法是一种重要的证明方法，它在数学命题的证明中有直接证法所起不到的作用.如果能恰当地使用反证法，就可以化繁为简、化难为易、化不可能为可能.反证法的逻辑思维性较强，数学语言的准确性高，对培养学生严谨的逻辑思维能力、阅读理解能力、树立正确的数学观具有重要意义，同时它又是大学数学的基础.因此，反证法在中学数学中占有重要地位.下面谈谈我对反证法及其应用的一些看法.

反证法是属于“间接证明法”一类，是通过证明矛盾命题（即原命题的否定命题）为假，进而证明原命题为真的证明方法.反证法的实质就是肯定命题的假设而否定其结论，从而导致矛盾.具体地说，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则、定义或者已经证明为正确的命题相矛盾，从而使命题获得证明.

反证法的理论依据是逻辑思维中的“矛盾律”和“排中律”.根据逻辑学，在同一思维过程中，对同一对象的两个互相矛盾的判断，其中至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”.对同一对象的肯定判断与否定判断，这两个相矛盾的判断必有一个是真的，即“或者是A或者是非A”，这就是逻辑思维中的排中律.反证法在证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，至少有一为假，而已知条件、已知公理、定理、法则、定义或者已证明为正确的命题都是真的，且推理又是正确的.故否定的结论为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这两个相矛盾的判断必有一个是真的，于是便得到原命题结论必为真.这就是反证法的理论依据.

了解了反证法，必想知道哪些命题适宜用反证法证明.要一般地回答这个问题，是不容易的，也不是绝对的.在此，提出如下几类适宜用反证法证明的命题.

1.有些命题含有涉及到各种“无限”形式的结论.如要证明某种元素的个数“无限多”，直线或平面间的交点“无限远”（即平行），数的“无限表示”（即无理数）等.由于我们直接证明无限的手段还不多，因此常要借助反证法.