角平分线性质的应用

许生有

我们知道，关于角平分线有如下性质：

（1）角平分线上的点到角的两边距离相等.

（2）在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.

灵活运用上面这两个性质，可以简便地解决许多问题.

一、性质(1)单独亮相

例1如图1，已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，∠1=∠2，CD、BE交于O点.求证：OB=OC.

分析：由∠1=∠2，CD⊥AB，BE⊥AC，可知OE=OD，然后再证△BDO≌△CEO.

证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∠1=∠2，

∴OE=OD.

又∵∠BDO=∠CEO=90°，∠BOD=∠COE，

∴△BDO≌△CEO（ASA），OB=OC.

点评：角平分线的性质常用来证明线段相等的相关问题.本题中由角平分线的性质直接得到OE=OD，显然比证明△OAE≌△OAD来说明OE=OD要简便.

例2 如图2，OC平分∠AOB，P是OC上一点，D是OA上一点，E是OB上一点，且PD=PE.求证：∠PDO+∠PEO=180°.

分析：∠PDO、∠PEO在图形的不同位置，又无平行线使它们联系起来，要证∠PDO+∠PEO=180°，若设法把其中的一个角转化为另一个角的邻补角，问题便可以解决.由于OC是角平分线，故可过点P作两边的垂线，构造出两个直角三角形，再利用HL证明这两个直角三角形全等即可.证明略.

点评：遇到角平分线问题，可以过角平分线上的一点向这个角的两边引垂线，以便充分运用角平分线的性质.

二、性质（2）单独亮相

例3如图3，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，交点分别为A、B、C.现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有几处？请标在图中，并说明理由.

分析：因为到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，所以可供选择的地址在这三条直线所围成的△ABC的内角平分线的交点处，或在这个三角形的外角平分线的交点处.

解：如图4，作∠BAC、∠ABC的平分线，交于点P4，则点P4到直线l1、l2、l3的距离相等，理由是角平分线上的点到这个角的两边距离相等.同理，作△ABC的外角平分线，分别交于点P1、P2、P3，则点P1、P2、P3各点到直线l1、l2、l3的距离也相等.

所以，可供选择的地址有P1、P2、P3、P4共四处.

点评：性质（2）常用来解决或证明距离相等的相关问题.由本题可以得到“三角形的一内角平分线与另外两个不相邻外角的平分线交于一点”，比如P1，它到AC和BC所在直线的距离相等，故它在∠ACB的平分线上.有时利用它解题更简洁.并且还可证得点P4在∠ACB的平分线上（因P4到AC、BC的距离相等），即“三角形三个内角的平分线交于一点”.

三、性质（1），性质（2）财时亮相

例4如图5，PA、PC分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线，它们交于点P.求证：BP平分∠MBN.

分析：如图6，作PD⊥BM于D，PF⊥BN于F.要证BP平分∠MBN，只需证PD=PF.而PA、PC为外角平分线，故可过P作PE⊥AC于E.根据角平分线性质有PD=PE，PF=PE，则有PD=PF，故问题得证.证明略.

点评：本题通过作PE⊥AC于E，沟通了性质（1）及性质（2）.当题目中有角平分线的交点时，常过交点作有关边的垂线，以寻找解题思路.

例5如图7，△ABC中，BD、CD平分∠ABC、∠ACB，CE⊥BD交BD的延长线于点E.求证：∠DCE=∠CAD.

解：由BD、CD平分∠ABC、∠ACB，可得AD平分∠BAC.于是可设∠1=∠2=x，∠3=∠4=y，∠5=∠6=z.由三角形内角和定理得x+y+z=90°，于是∠CAD=z=90°-（x+y），只需证出∠DCE=90°-（x+y）即可.

∵CE⊥BD，

∴∠DCE=90°-∠EDC=90°-（∠2+∠3）=90°-（x+y）.

∴∠DCE=∠CAD.

点评：这种设角并利用角的表达式证明的思路，体现了代数法解几何题的思想，值得重视.

跟踪练习

如图8，在△ABC中，AD是∠A的平分线， DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：AD⊥EF.

提示：先证△AED≌△AFD，得AE=AF.再证△AEO≌△AFO，则∠AOE=∠AOF=90°.