三角形的边与角

龙克栋　韩　锋

三角形三边关系、三角形内角和定理及全等三角形的识别都是中考重点考查的内容，在中考中占有较大的比重，应引起高度重视．

一、三角形三边关系的应用

例1△ABC中，三边长为3，x，8，求x的取值范围.若三角形周长为偶数，求周长的最大值.

分析：可以根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”来解．

解：因3，x，8是△ABC的三边长，故8-3

因周长是偶数，3+8=11为奇数，故x只能取奇数.

而5

∴△ABC的周长的最大值为11+9=20.

∴x的取值范围为5

点拨：在应用三角形三边关系解题时，应注意是“任意两边”． 求周长的最大值有些技巧性，也可用比较“笨”的方法，把x从大到小依次代入，看是否让周长成为偶数.

二 三角形内角和定理的应用

例2如图1，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点P，试说明∠BPC与∠A之间的关系.

分析：∠BPC在△BPC中，与∠1和∠2的和为180°．而∠1、∠2和∠ABC、∠ACB又有明显的关系，进而可以和∠A建立联系．

解：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACB，

∴∠1=1/2∠ABC，∠2=1/2∠ACB.

又∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，

∴∠1+∠2=1/2（180°-∠A）.

∵∠BPC=180°-（∠1+∠2），

∴∠BPC=90°+1/2∠A.

点拨：同学们可研究同类的问题“三角形一个内角的平分线与一个外角平分线的夹角与第三个内角的关系”，“两个同侧外角的平分线的夹角与第三个内角的关系”，如图2、图3．

三 全等三角形的识别

例3如图4，四边形ABCD中，AB>AD，AC平分∠BAD.若∠B+∠D=180°，求证：CD=CB.

分析：要证CD=CB，可设法把CD、CB放在两个全等三角形中.又因为AC是∠BAD的平分线，因此可以以AC为桥梁构造两个全等三角形．

证明：作CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分别为E、F，如图5，则△ACE≌△ACF（AAS），CE=CF.

∵∠CDE+∠ADC=180°，∠B+∠ADC=180°，

∴∠CDE=∠B.

∴△CDE≌△CBF（AAS）.

∴CD=CB.

点拨：题中有角平分线与其他直线的交点时，经常过交点作角两边的垂线.

四 综合应用

例4如图6，在△ABC中，AB=BC=CA.在△ABC的顶点A、C处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，以相同速度由A向B和由C向A爬行.经过t s后，它们分别爬行到了D、E处.设CD与BE的交点为F.

（1）证明△ACD≌△CBE.

（2）在小蚂蚁爬行过程中（不考虑起点、终点处），CD与BE所成的∠BFC的大小有无变化？请说明理由.

分析：两只小蚂蚁同时出发以相同速度运动，所以AD=CE.又因为AC=CB，∠A=∠ACB，所以△ACD与△CBE全等，进而得角之间的关系，可知∠BFC的大小不变．

解：（1）略．

（2）∵△ACD≌△CBE（已证），

∴∠BFC=180°-∠EBC-∠BCD=180°-∠ACD-∠BCD=180°-∠ACB=180°-60°=120°.

∴∠BFC的大小不变.

点拨：同学们可探究一个类似的问题：如图7，在正方形ABCD中，两只蚂蚁同时分别从A、B出发，向B、C运动，速度一样.经过t s后，它们分别爬到了P、Q两点.试问：PC与QD所成的角∠QOC的大小有无变化？为什么？