二次根式学案
2008-09-27李宗洲
李宗洲
一、二次根式的概念
1. 像 (a≥0), , , ,这种表示算术平方根的代数式叫做二次根式.
2. 求二次根式中字母的取值范围.
例1 求下列各二次根式中x的取值范围:
(1);(2);(3);(4) .
答案:(1) x≤ ;(2) x<-8;(3) x可取全体实数;(4) x= .
二、二次根式的性质
1. ( )2=a (a≥0).
2.=|a|=a (a≥0),-a (a<0).
3.= •(a≥0,b≥0).
4.=(a≥0,b>0).
例2 在实数范围内分解因式:
(1) 25m2-7;(2) 3y2-5x2;(3) x2-( + )x+ .
答案:(1) (5m+ )(5m- );(2) ( y+ x)( y- x);(3) (x- )(x- ).
例3 化简:
(1) (y<0);?摇(2)(a<2b);
(3)+(0 (4)-( )2. 答案:(1);(2) - ;(3);?摇(4) 2. 小结:二次根式的化简结果,要求最简,即被开方数的因数是整数,因式是整式;被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 三、二次根式的运算 1. 加减法:先化为最简二次根式,再合并同类二次根式. 2. 乘法: • = (a≥0,b≥0). 3. 除法: = (a≥0,b>0),要注意对结果进行分母有理化. 4. 二次根式的运算满足运算律,也可用多项式乘法公式简化运算. 例4 计算: (1)+ 2- - 2; (2)+ - ; (3)- (a≠b); (4)+ +…+ . 答案:(1) 4;(2) 0;(3) 0;(4). 例5 先化简,再求值: (1) 已知a= ,b= ,求+ 的值; (2) 已知(x- +1)(x-3)=0,求 - ÷ 的值. 解:(1) a= = = . b= = = . ∴原式= + =|a|+|b|. ∵a>0,b>0, ∴原式=a+b= + = . (2) 由已知得x1= -1,x2=3.而x-3≠0,故x= -1. 原式= • = = = . 当x= -1时,原式= =- . 四、深化提高练习 1. 填空: (1) 若 =a-1,则a的值为; (2) 若a,b均为实数,且|a-1|与 互为相反数,则 =; (3) 若(x-y+3)2+ =0,则x2-y2的值; (4) 已知 =-|b-4|,那么,以a,b为边长的等腰三角形的周长为. 2. 已知 =(8-x) ,且x为奇数,求 • 的值. 3. 已知y= ,求 的值. 4. 已知a-b= + ,b-c= - ,求a2+b2+c2-ab-ac-bc的值. 5. 已知x>0,y>0,且x2+2xy-15y2=0,求 的值. 6. 已知Rt△ABC斜边AB上的中线长为 ,AC+BC= + ,求△ABC的面积. 1. (1) 1 (2) 2 (3) -21 (4) 14或13 2. 12 或2 . 3.. 4. 11. 5. -(4+ ). 6.. 注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”