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等腰三角形创新题展示

2008-09-27种衍宝

中学生数理化·中考版 2008年7期
关键词:正三角形式子等腰三角

种衍宝

近几年涌现出一大批以等腰三角形为背景,内涵丰富、设计新颖独特的创新试题,下面举例说明.

1. 条件探索型

例1 如图1,在△ABC中,D,E分别是AC,AB上的点,BD与CE交于点O.给出下列四个条件:① ∠EBO=∠DCO;② ∠BEO=∠CDO;③ BE=CD;④ OB=OC.

(1) 上述四个条件中,哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形?(用序号写出所有情况)

(2) 选(1)小题中的一种情形,证明△ABC是等腰三角形.

解:(1) ①③,①④,②③,②④四种情况可判定△ABC是等腰三角形.

(2) 下面以①③两个条件证明△ABC是等腰三角形.

∵∠EBO=∠DCO,BE=CD,∠EOB=∠DOC,

∴△EOB≌△DOC.故OB=OC,∠OBC=∠OCB.

∴∠EBC=∠DCB.所以△ABC是等腰三角形.

2. 结论探索型

例2 如图2,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于D.若∠A=36°,则下列结论中成立的有,并且证明结论的正确性.

① ∠C=72°;② BD是∠ABC的平分线;③ △BCD∽△ABC;④ △ABD是等腰三角形;⑤ △BCD的周长为AC+BC.

解:正确的结论有①②③④⑤.详细证明请同学们自己完成.

3. 实验操作型

例3 如图3,在等边△ABC所在的平面内求一点P,使△PAB,△PBC,△PAC都是等腰三角形.你能找到几个这样的点?画图描述它们的位置.

解:如图3,△ABC三条边的垂直平分线的交点P1满足条件.分别以点A、点B为圆心,AB为半径画圆弧,交AC的垂直平分线于P2,P3两点,则△P2 AB,△P2BC,△P2 AC,△P3 AB,△P3BC,△P3 AC也是等腰三角形.同样可以在AB,BC的垂直平分线上再找到4个点P,使△PAB,△PBC,△PAC是等腰三角形.所以共有7个点.画出的图形如图3.

说明: 此题容易只确定在△ABC内一的点.关键要注意三个等腰三角形的腰是哪两条边.分类讨论探究题既是中考热点,又是考生易错点.克服差错的方法是解题时常提醒自己:“还有其他情况吗?”

4. 方案设计型

例4 图4(1),图4(2),图4(3)这些等腰三角形与正三角形的形状有差异,我们把与正三角形接近的程度称为“正度”.在研究正度时,应保证相似三角形的正度相等.

设等腰三角形的底和腰分别为a,b,底角和顶角分别为α,β.要求正度的值是非负数.

同学甲认为:可用式子|a-b|来表示正度,|a-b|的值越小,表示等腰三角形越接近正三角形;

同学乙认为:可用式子|α-β|来表示正度,|α-β|的值越小,表示等腰三角形越接近正三角形.

探究:(1) 他们的方案哪个较合理?为什么?

(2) 对你认为不够合理的方案,请加以改进.(给出式子即可)

(3) 请再给出一种衡量等腰三角形正度的表达式.

解:(1) 同学乙的方案较为合理.因为|α-β|的值越小,α与β越接近60°,因而该等腰三角形越接近于正三角形,且能保证相似三角形的正度相等.同学甲的方案不合理,不能保证相似三角形的正度相等.如:边长为4,4,2和边长为8,8,4的两个等腰三角形与正三角形的接近程度相同,但|2-4|=2≠|4-8|=4.

(2) 对同学甲的方案,可改为用 或 (k为正数)等来表示正度,它的值越小,表示等腰三角形越接近正三角形.仍以边长为4,4,2和边长为8,8,4的两个等腰三角形为例.取k=10,用 来计算正度,则边长为4,4,2的等腰三角形的正度为 =0.1;边长为8,8,4的等腰三角形的正度为 =0.1.二者相等,表明它们与正三角形的接近程度相同.

(3) 通过对同学乙的方案分析,我们发现还可以从角度入手,用|α-60°|,

|β-60°|,|α+β-120°|, [2(α-60°)2+(β-60°)2]等来表示正度.

注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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