灵活转换 轻松证题

赵国瑞

题目 如图1，过△ABC的顶点C作一条直线，与边AB及中线AD分别交于点F和点E，求证：＝.

这是一道好题．通过结论的灵活转换，可以获得该题的多种证法.下面介绍有关的思路．

思路1：由＝，得＝，所以关键是找出线段FB.

联想到三角形中位线性质，可取线段FB的中点M，连接DM，如图2．则DM是△BCF的中位线，所以FM＝FB，DM∥EF．在△AMD中，由相似三角形的性质，得＝，即＝.

还可以过点D作DM∥AB交FC于点M，如图3．因为D是BC中点，所以DM＝FB．由△AEF∽△DEM，得＝，即＝.

思路2：＝即＝，所以关键是找出线段2ED.

联想到平行四边形的性质，可延长ED到M，使DM=ED，如图4，则EM=2ED.连接BM，易证△DEC≌△DMB（SAS），∠DEC＝∠DMB，所以FC∥BM．故EF∥BM．在△ABM中，由相似三角形的性质有＝，即＝.

还可以过B作BM∥ED交CF的延长线于M，如图5．则ED是△CBM的中位线，所以BM=2ED.由△AEF∽△BMF，得＝，即＝.

思路3：由＝，得∶=2∶1．可过点A作AM∥BC交CF的延长线于点M，如图6．由△AME∽△DCE，△AMF∽△BCF，则＝，＝.

由BC=2DC，易知∶=2∶1.

思路4：由＝，得∶=2∶1．可过点C作CF的垂线l，再分别过A、B、D向l引垂线，垂足分别为A′、B′、D′，如图7．则=，=.由D是BC的中点知D′是B′C的中点，所以CB′=2CD′，从而∶=2∶1.

思路5：由＝，得∶=2∶1．结合图形，联想到同高的两个三角形的面积的比等于它们的底边的比，可连接BE，如图8．则＝，=＝，所以由比例性质有=＝．

由D是BC的中点可知S△BEC=2S△EDC.

从而∶=2∶1.

当然，也可通过连接DF来完成证明，如图9，请同学们动手试试．