巧解分式方程

张景梅

解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程，通常是把方程的两边都乘以最简公分母，约去分母．但对于某些特殊的分式方程，应该采用换元法求解.而对于某些较复杂的分式方程，若能仔细观察其特点，灵活使用解题技巧，则能简捷求解．现举例说明如下．

一、利用换元法

例1解方程：

2－5

＋6＝0.

解：设y＝，则原方程可以化为y2－5y＋6＝0，所以

（y-2）（y-3）＝0，y1＝2，y2＝3．

当y1＝2时，＝2，解得x1＝2．

当y2＝3时，＝3，解得x2＝．

经检验，x1＝2，x2＝均是原方程的解．

二、利用拆分法

例2 解方程：－＝－．

分析：若直接去分母，将得到一个高次方程，解起来比较困难．当分式方程中分式的分子次数大于或等于分母次数时，可先把分式化成分子次数小于分母次数的真分式，然后去分母求解.

解：原方程可化为1＋－1－＝1＋－1－，

－＝－，

＝，

（x＋1）（x＋3）＝（x＋5）（x＋7）．

解之，得 x＝－4．

经检验，x＝－4是原方程的解.

例3 解方程：＝．

解：由原方程得－1＝－1．

所以＝，所以x＝0或2x－3＝3x－5．解得x1＝0，x2＝2．

经检验，x1＝0，x2＝2均是原方程的解．

三、利用分解因式

例4解方程：＋＝．

解：原方程化为

＋＝，

－＋－＝－，

＋＝．

去分母，解得x＝－8．

经检验，x＝－8是原方程的解.

四、利用添项法

例5 解方程：＋＝＋．

解：注意到每个分式的分子、分母均有可抵消的“数”，方程两边都加上2，得

＋1＋＋1＝＋1＋＋1，

＋＝＋，

－＝－，

＝．

于是得x＝0或（x＋2）（x＋3）＝（x＋4）（x＋5），解得x1＝0，x2＝－．

经检验，x1＝0，x2＝－是原方程的解.