分式通分策略精讲

吴行民

有些分式计算题，若按照课本上介绍的方法来进行通分，往往计算量很大．这时如果能根据分式的特征，运用一定的解题技巧，常可收到事半功倍的效果．下面就向同学们介绍几种有用的通分策略．

一、分组通分

例1 计算：－＋－．

精讲：直接通分非常繁琐．因为（x＋2）（x＋3）和x（x＋5）的运算结果有两项相同，故可将第一个和第四个分式分在一组，其余分在另一组，最后通分时会给分子运算带来较大方便．

解：原式＝[ ][－]＝－

＝－．

二、逐步通分

例2 计算：＋＋＋．

精讲：这里的几个分式的分母很有特点：（1－x）（1＋x）＝1－x2，（1－x2）（1＋x2）＝1－x4，（1－x4）（1＋x4）＝1－x8．显然，可将前两个分式运算的结果与第三个分式再运算，再将结果与第四个分式运算．这种逐步通分的方法比统一通分的方法要好．

解：原式＝＋＋＝＋＝．

三、拆项通分

例3 计算：＋＋＋．

精讲：请观察下面的运算，从中可找出应用于本题的规律来！

＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝1－＝．

解：原式＝＋＋＋

＝－＝．

四、整体处理再通分

例4 计算：－a－1．

精讲：分式部分的分母与整式部分有着特殊的关系，即（a－1）（a＋1）＝a2－1．由此可将－a－1看作是分母为1的式子进行通分，这是捷径．

解：原式＝－＝－＝．

五、约分后再通分

例5 计算：－＋－．

精讲：先约去各个分式中分子与分母的公因式，然后再通分（注意合理分组），这样处理比较方便．

解：原式＝－＋－＝－

＝－＝．

六、提取“公因式”后再通分

例6 计算：＋＋．

精讲：给出的三个分式均含有，因此可先提取“公因式”，然后再通分，这是妙法．

解：原式＝＋－＝

＝·＝．

七、和差化积后再通分

例7 已知a＋b＋c＝0，abc≠0，化简＋＋．

精讲：待化简的式子是关于a、b、c的轮换对称式（即用a代替b、b代替c、c代替a后，式子不变），因此对一个分式进行的化简可类似地应用到另外的分式中．由a＋b＋c＝0，得a＝－（b＋c）．于是b2＋c2－a2＝b2＋c2－（b＋c）2＝－2bc．同理，可得c2＋a2－b2＝－2ac，a2＋b2－c2＝－2ab．代入待化简的式子，结果马上得出．

解： ∵ a＋b＋c＝0， ∴ a＝－（b＋c）．

∴ b2＋c2－a2＝b2＋c2－（b＋c）2＝－2bc．

同理，有c2＋a2－b2＝－2ac，a2＋b2－c2＝－2ab．

∴ 原式＝＋＋＝－＝0．

总之，每道分式运算的题目都有其自身的特殊性，因而，计算时应先琢磨一下，以便发现最简捷的方法．