如何由不等式（组）的解集确定字母的取值范围

渠　英

中考中，常常出现已知不等式（组）的解集求某些字母（待定系数）的取值范围或代数式的值的试题．这类试题主要是考查学生逆向思维的能力.下面从几个方面举例说明有关的解法．

一、利用解集求字母（待定系数）的取值范围

例1 若关于x的不等式（m+3）x＞1的解集是x<，则m<-3是否正确？

解：由不等式的性质可知，（m+3）x>1的解集是x<，只有在m+3<0的前提下才成立，即有m<-3，故结论“m<-3”是正确的.

评注：解决本题的关键是利用“不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”.

例2 已知关于x的不等式组5-2x≥-1，

x-a＞0无解，则a的取值范围是.

解：不等式组可变形为x≤3，

x>a.因不等式组无解，故a≥3.

例3 若关于x的不等式组x>a，

3x+2<4x-1的解集为x>3，则a的取值范围是.

解：原不等式组可化为x>a，

x>3．若要原不等式组的解集为x>3，则有a≤3.

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1. 如果关于x的不等式组x-m-3>0，

x-3m+1<0无解，那么m的取值范围是（）．

A. m<2 B. m≤2 C. m>2 D. m≥2

2. 已知关于x的不等式组x<2，

x>1，

x>a无解，则a的取值范围是（）．

A. a≤-1 B. a≥2 C. -12

二、利用解集求解集

例4 已知a、b为常数，若关于x的不等式ax+b>0的解集是x<，则关于x的不等式bx-a<0的解集是（）．

A. x>-3 B. x<-3 C. x>3 D. x<3

解：由不等式ax+b>0的解集为x<，可知a<0.由ax+b>0，得ax>-b，x<-，从而有-=，即a=-3b.故b>0.由bx-a<0，得x<＝=-3.故选B.

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3． 已知关于x的不等式（2a-b）x+a-5b>0的解集为x<，则关于x的不等式ax+b>0的解集是（）．

A. x>-B. x<-C. x>D. x<

三、利用解集求代数式的值

例5 已知关于x、y的方程组x-y=a+3，

2x+y=5a的解满足x>y>0，试化简a+3-a.

解：解方程组得x=2a+1，

y=a-2.由x>y>0，得不等式组2a+1>a-2，

a-2>0，解得a>2.

当2

当a>3时，a+3-a=a+a-3=2a-3.

例6 若关于x的不等式组2x-a<1，

x-2b>3的解集为-1

解：原不等式组可化为x<

，

x>2b+3.因不等式组的解集为-1

=1，

2b+3=-1，故得a=1，

b=-2.所以（a+1）（b-1）=2×（-3）=-6.

四、构造不等式组求取值范围

例7 求使关于x、y的方程组x+y=m+2，

4x+5y＝6m+3的解都是正数的m的取值范围.

解：解方程组可得x＝－m+7，

y=2m-5.因为它的解为正数，所以-m+7>0，

2m-5>0.

∴

练习题参考答案

1. B2. B3. B