关于一个伪命题的思考

韩松德

选修课上老师给我们出了这么一个伪命题“一切三角形都是等腰三角形”并给以证明，让我们从中找出原题证明过程中的破绽. 笔者与同学讨论很久，思索考虑的越深，越觉得这道题有意思. 于是便整理下来与广大读者一起分享.

原题的证明过程如下：

证明：如图1，设△ABC中BC边的垂直平分线与顶角A的角平分线相交于点E，过E点作EH、EL分别垂直于AC、AB两边.

因为AE为∠A的角平分线，EL⊥AB且EH⊥AC，

所以EL=EH，又因为AE=AE，

所以Rt△ALE≌Rt△AHE(HL)，

所以AL=AH，(1)

又因为E点在BC的垂直平分线上，所以EB=EC.因为EL=EH，所以Rt△BLE≌Rt△EHC(HL)

所以BL=HC，(2)

(1)+(2)得

AL+BL=AH+HC，即AB=AC.

故命题得证.

看到这里读者不觉感到可笑，这么一个荒谬的结论居然能够证明出来. 难道一切三角形都是等腰三角形这个荒谬的结论是正确的?很明显，是错误的!可是事实摆在眼前，“铁证如山”，不得不信.

仔细分析一下原题的证明过程，读者会发现除了第一句话“设△ABC中BC边的垂直平分线与顶角A的角平分线相交于点E(点E在△ABC的内部)”有待商榷外，其他部分完全符合数学原理. 细心读者不免会问：“难道点E一定在三角形的内部?该题的例证三角形为锐角三角形，那么在直角三角形和钝角三角形中点E也会在其内部吗?”

如将上图中的角B换为直角，读者会发现一个很荒谬的结论：直角三角形的一条直角边AB居然等于它的一条斜边AC.

很明显这是错误的!可是如果点E在三角形的内部，那么由上述证明知该三角形一定是等腰三角形，反过来如果一个三角形是等腰三角形，那么由等腰三角形“三线合一”的性质知，点E一定在三角形的内部(实际为∠A的角平分线与BC边的垂直平分线重合). 因此，我们可以做一个大胆的假设：上述情况只在等腰三角形中成立，在其他三角形中不成立.

下面我们来证明这个假设.

图2证明 首先证明三角形为直角三角形的情况. 如图2，以直角边OA为x轴，O点为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy.

设A点的坐标为(a，0)，B点的坐标为(0，b)所求点E的坐标(OA边垂直平分线与顶角B的角平分线的交点，下面证明过程中点E代表的意义与此相同)坐标为(x，y).

因为点E在OA的垂直平分线上，

所以E点坐标可设为(a2，y)，

又因为点E在∠B的角平分线上，

所以点B到y轴的距离与到直线AB的距离相等.

因为AB的直线方程xa+yb=1，

即bx+ay-ab=0，

所以|12ab+ay-ab|a²+b²=a2，

解得y=b±a²+b²2，

因为y2