趣谈勾股定理

钱怀莲

我国古人很早就发现了“勾三股四弦五”.当时把较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦.“勾三股四弦五”的意思是，在直角三角形中，如果勾为3，股为 4，那么弦为5.所以我国称反映勾、股、弦长度之间的数量关系的一个命题为勾股定理.西方国家称勾股定理为毕达哥拉斯定理.

[一、有趣的勾股树]

例1如图1，四边形A、B、C、D、E、F、H都是正方形，图中所有的三角形都是直角三角形.其中最大的正方形H的边长为7 cm，则正方形A、B、C、D的面积之和为工科cm2.

分析：这个图形是勾股树的一部分.根据勾股定理，易得SA+SB=SE，SC+SD=SF，SE+SF=SH.

∴SA+SB+SC+SD=SH=7×7=49（cm2）.

解：正方形A、B、C、D的面积之和为49 cm2.

总结：这里的H相当于是树干，A、B、C、D、E、F等相当于是树枝.还可以向外面继续延伸画勾股树.由以上分析可以知道，对勾股树来说，最外面的正方形的面积的和=最大的正方形的面积.大家可以思考一个与本题有关的问题，即所有正方形的面积之和是多少.

[二、勾股数中的规律]

例2观察下列表格：

请你结合表1及相关知识，求出m、n的值.

解：设（a，b，c）为一组勾股数，a

观察可知表格中的规律是：当a为奇数时，则b、c是两个连续的正整数，且b+c=a2.

如：（5，12，13），则12+13=52；（7，24，25），则24+25=72.

所以有132=169=m+n，又m比n小1，所以m+m+1=169，m=84，n=85.

总结：（1）勾股数中各数的相同的整数倍，仍是勾股数，如3，4，5是勾股数，则6，8，10也是勾股数．

（2）常见的勾股数有：①3，4，5；②5，12，13；③8，15，17；④7，24，25；⑤9，40，41．它们的整数倍也都是勾股数.这些勾股数应当牢记，以便解题时及早发现其中的规律.

（3）设（a，b，c）为一组勾股数，a

①当a为奇数时，则b 、c是两个连续的正整数，且b+c=a2；

②当a为大于4的偶数时，则b、c是两个连续的奇数或偶数，且b+c=a2.

[三、勾股定理的拓展]

例3学习了勾股定理以后，有同学提出“在直角三角形中，三边长a、b、c满足a2+b2=c2，或许其他的三角形三边也有这样的关系.”让我们来做做实验!

（1）画出任意一个锐角三角形，量出各边的长度（精确到1 mm）.较短的两条边长分别是a= mm，b= mm；较长的一条边长c= mm. 比较a2+b2 c2（填“>”，“<”或“=”）.

（2）画出任意一个钝角三角形，量出各边的长度（精确到1 mm）.较短的两条边长分别是a= mm，b= mm；较长的一条边长c= mm. 比较a2+b2 c2（填“>”，“<”，或“=”）.

（3）根据以上的操作和结果，结合这位同学提出的看法，你猜想的结论是： .利用勾股定理证明你的结论．

解：（1）、（2）略.

（3）猜想的结论是：△ABC的三边长分别为a、b、c.若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2>c2；若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2+b2

①当△ABC是锐角三角形时，如图2，过点A作AD⊥BC，垂足为D.设CD=x，则有BD=a-x.根据勾股定理，得b2-x2=AD2=c2-（a-x）2.

即b2-x2=c2-a2+2ax-x2.故a2+b2=c2+2ax.

∵a>0，x>0，∴2ax>0. a2+b2>c2.

②当△ABC是钝角三角形时，如图3，过B作BD⊥AC，交AC的延长线于D.

设CD=x，则有BD2=a2-x2.

根据勾股定理，得AD2+BD2=AB2，（b+x）2+a2-x2=c2．即a2+b2+2bx=c2.

∵b>0，x>0，∴2bx>0. a2+b2

总结：（3）中得到的结论，可以用来判断一个三角形的形状.若ac2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。