梯形中常用辅助线作法

李巧鸽

梯形是几何平面中一种常见的图形，它是在三角形和平行四边形的基础上进行研究的.在解决有关梯形知识的问题中，往往通过添加适当的辅助线，把梯形转化为平行四边形或三角形.在学生已有的知识体系中利用图形的转换将复杂的问题简单化，不同条件的梯形转换方式也不尽相同.因此辅助线添加方式也因其而异.下面就自己的教学经验浅谈一下梯形中常见的辅助线作法.

１．平移一腰．即从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形分割成一个平行四边形和一个三角形.然后利用平行四边形及三角形的性质解决问题.

例１如图１，在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，∠Ｂ＝５０°，∠Ｃ＝８０°，ＡＤ＝１０ ｃｍ，ＢＣ＝１８ ｃｍ.求ＣＤ的长.

分析：过Ａ作ＡＥ∥ＣＤ交ＢＣ于点Ｅ，则四边形ＡＥＣＤ为平行四边形.欲求ＣＤ的长，只要求出ＡＥ即可.

２．从上底的两个端点作下底的垂线，把梯形分成一个矩形和两个直角三角形.如果是等腰梯形，所得到的两个直角三角形是全等的.

例２如图２，在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＝ＣＤ，ＡＤ＝４，ＡＢ＝６，∠ＡＢＣ＝６０°，求梯形ＡＢＣＤ的面积.

分析：根据已知条件知，欲求梯形面积需先求出下底和高，故作高ＡＨ、ＤＧ，易证ＢＨ＝ＧＣ，ＨＧ＝ＡＤ．进而求出ＢＣ．由勾股定理和直角三角形的性质可求出高ＡＨ.求等腰梯形的面积一般都要求高，而求高通常同时作两条高，把梯形分成一个矩形和两个全等的直角三角形，结合矩形和直角三角形的有关性质解决问题．

３．平移对角线．即从上底的一个端点作一条对角线的平行线，通过平移对角线可将对角线、上底、下底集中到同一个三角形中.平移后的对角线与另一条对角线及两底之和组成的三角形与原梯形面积相等.

例３如图３，在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ＝１，ＢＣ＝４，ＡＣ＝３，ＢＤ＝４，求梯形的面积.

分析：欲求梯形ＡＢＣＤ的面积，已知上下底的长，只要求出梯形ＡＢＣＤ的高.过Ｄ作ＤＥ∥ＡＣ交ＢＣ的延长线于Ｅ，则四边形ＡＣＥＤ为平行四边形，从而ＡＤ＝ＣＥ.即得梯形ＡＢＣＤ的面积等于△ＢＤＥ的面积，故求出△ＢＤＥ的面积即可.

４．延长梯形的两腰到一点，得到两个三角形．如果是等腰梯形，则得到两个分别以梯形的两底为底的等腰三角形.

例４如图４，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＣＤ，∠Ｂ＝∠Ｃ，ＡＤ＜ＢＣ.

求证：四边形ＡＢＣＤ为等腰梯形.

分析：欲证四边形ＡＢＣＤ为等腰梯形，已知∠Ｂ＝∠Ｃ，故只要证明ＡＤ∥ＢＣ即可．延长ＢＡ、ＣＤ交于点Ｅ．证得△ＡＥＤ、△ＢＥＣ均为等腰三角形．从而易得ＡＤ∥ＢＣ．

５．过梯形上底中点作两腰的平行线，把梯形转化为两个平行四边形 和一个三角形.如果是等腰梯形，得到的三角形是等腰三角形，再利用等腰三角形的性质解决问题.

例５如图５，已知等腰梯形ＡＢＣＤ，ＡＤ∥ＢＣ，点Ｅ、Ｆ分别为ＡＤ、ＢＣ的中点，求证：ＥＦ⊥ＢＣ.

分析：欲证ＥＦ⊥ＢＣ，可过Ｅ作ＥＭ∥ＡＢ， ＥＮ∥ＣＤ，分别交ＢＣ于点Ｍ、Ｎ.即得ＢＭ＝ＡＥ，ＣＮ＝ＤＥ，ＭＦ＝ＮＦ，ＭＥ＝ＮＥ．利用等腰三角形三线合一的性质可得ＥＦ⊥ＢＣ.

６．旋转上底.以一腰中点为旋转中心，顺时旋转１８０°.使上底旋转到下底所在直线的位置.构造出全等三角形.在梯形中出现上底与下底之和等于一腰长时，利用此种方法添加辅助线，将分散的线段相对集中，并构造出等腰三角形，再运用等腰三角形三线合一的性质解决线段垂直、角相等等问题.

例６如图６，在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，且ＡＢ＝ＡＤ＋ＢＣ.Ｍ为ＣＤ的中点，求证：（１）ＡＭ⊥ＢＭ.（２）ＡＭ平分∠ＢＡＤ，ＢＭ平分∠ＡＢＣ.

分析：欲证ＡＭ⊥ＢＭ，先延长ＡＭ交ＢＣ的延长线与点Ｅ（即以点Ｍ为中心△ＡＤＭ顺时旋转１８０°与△ＥＣＭ重合），易证△ＡＤＭ≌△ＥＣＭ，得ＣＥ＝ＡＤ，ＡＭ＝ＥＭ．由ＡＤ＋ＢＣ＝ＡＢ得ＡＢ＝ＢＥ．利用等腰三角形三线合一的性质得ＡＭ⊥ＢＭ，所以ＢＭ平分∠ＡＢＣ．易证ＡＭ平分∠ＢＡＤ．

总之，在解决有关梯形的问题时，可通过作辅助线——平移线段、延长线段、旋转线段等，把梯形分割成平行四边形和三角形或构造出全等三角形、等腰三角形，把有关的线段和角相对集中到一个三角形中，利用三角形、平行四边形的知识解决梯形问题．

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