三角形中的重要线段学习导航

郎宏琪

三角形的高、中线、角平分线是三角形中的三种重要线段，在解决几何问题的过程中起着重要的作用.学习这三种重要线段，需掌握以下知识点.

一、概念

1. 三角形的高.如图1，从△ABC的顶点A向它的对边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高.

2. 三角形的中线.如图2，连接△ABC的顶点A和它的对边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线.

3. 三角形的角平分线.如图3，作∠BAC的平分线AD，交∠BAC所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线.

二、特性

三角形有3条角平分线、3条中线、3条高，且三角形的3条角平分线交于一点，3条中线交于一点，3条高所在的直线交于一点.

三、重点要点

要注意“三角形的角平分线”与“角的平分线”的区别，前者是一条线段，其长度可以度量，后者是一条射线，其长度不能度量.类似地，三角形的高、中线均是线段.在画三角形的高时要注意，锐角三角形的3条高都在三角形的内部；钝角三角形有2条高在三角形的外部；在直角三角形中，有2条高都是三角形的直角边.作三角形的高通常要用直角符号标明.

四、相关性质

1. 如图1，AD是△ABC的高，即AD⊥BC，垂足为D，则∠ADB=∠ADC=90°.

2. 如图2，AD是△ABC的中线，即D是边BC的中点，则BD=DC=BC.

3. 如图3，AD是△ABC的角平分线，即AD平分∠BAC，则∠BAD=∠CAD=∠BAC.

五、简单应用

1. 利用有关概念作图

例1在图4和图5中，分别画出AC边上的高和中线.

<\192.168.2.1230七年级数学人教版2008年3月分析.tif>[分析：]要明确题目中要求画的是三角形中哪条边上的高和中线，然后在正确理解概念的基础上画图.

解：如图6和图7.

2． 运用概念和性质进行推理说明

例2如图8，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，D是边BC的延长线上的一点，试说明CE⊥CF.

<\192.168.2.1230七年级数学人教版2008年3月分析.tif>[分析：]三角形的一个内角与同它相邻的外角之和是180°，利用角平分线的性质可得∠ECF=90°，从而由角的大小说明线段之间的关系.另外，D是边BC的延长线上的一点这个条件不可忽视，它保证了B、C、D三点共线.

解：因为D是边BC的延长线上的一点，所以∠ACB+∠ACD=180°.

因为 CE、CF分别是∠ACB、∠ACD的平分线，所以∠ACE=∠ACB，∠ACF=∠ACD.

故∠ACE+∠ACF=（∠ACB+∠ACD）=×180°=90°，即∠ECF=90°.故CE⊥CF.