折纸中的数学

王明飞

数学中折纸问题，易于学生动手操作，具有很强的直观感，趣味性强，能培养学生空间想象能力，是开展研究性学习的好素材，这类探究·拓展题在新课改及高考中就经常出现，因此，在平时教学中就要引起我们足够的重视，下面就一道折纸问题来探讨折纸中有趣的数学.

准备一张圆形纸片，在圆内任取不同于圆心的一点F，将纸片折起，使圆周过点F（如图1），然后将纸片展开，就得到一条折痕l(为了看清楚，可把直线l画出来）.这样继续折去，得到若干折痕.观察这些折痕围成的轮廓，它们形成什么曲线？

折许多条折痕就围成了如图2的一个椭圆，我们知道，椭圆应该由点的轨迹来具体确定，那究竟是什么样的点构成了这个椭圆？

图1 图2如图3，设圆心F ′,圆的半径为2a,F ′F=2c,以F ′F中点为坐标原点，F ′F所在直线为x轴，建立直角坐标系，P为圆上一点，PF的垂直平分线l交PF ′于点M，我们来探求M的轨迹.

分析 连MF，由垂直平分线的性质可知，MP=MF，则MF ′+MF=MF ′+MP=2a>F ′F.

图3由椭圆的定义可知，M的轨迹是以F、F ′为焦点的椭圆，其中长轴为2a，焦距为2c,令b2=a2-c2,则椭圆的方程为x2a2+y2b2=1.

现在问题是M的轨迹与折痕围成的椭圆是否是同一个椭圆？如图3，设M ′是直线l上不同于M的任一点，则M ′F ′+M ′F=M ′F ′+M′P>PF ′=2a,所以M ′在椭圆的外部，当P取遍⊙F ′上所有的点时，l所围成的轮廓就是M点所确定的椭圆，从图2中可以看出，折痕上的点也在它所围成的椭圆上或外部，而折痕所在的直线就是l，所以点M的轨迹与折痕围成的椭圆就是同一个椭圆.

进一步思考，发现这个折纸问题是个十分有趣的开放性问题，它包含了许多的数学知识，进一步探究，还可以得出一些有趣的结论：

探究1 M是折痕l上到两点F、F ′距离之和最小的点.

探究2 折痕上的M点构成了椭圆，而其余的点都在椭圆外，所以折痕所在的直线l就是椭圆的切线.

所以Δ=0，即l与椭圆相切，当l的斜率不存在时，相切显然成立，所以l是椭圆的切线，M是切点.

探究4 由对称性可知，∠FMN=∠PMN=∠F ′MM ′,这一点反映在椭圆的光波与声波的性质上，一束光从F点出发，经椭圆反射后，反射光一定通过F ′点，声音传到椭圆上，经过连续几次反射，在很远的地方也能听到声音，北京天坛公园里的回音壁就暗合了声学的传音原理.

探究5 如果已知F、F ′为椭圆的焦点，M是椭圆上一点，如图3，现将MF折起使F点与F ′M延长线上的P点重合，则P的轨迹是以F ′为圆心，长轴长为半径的圆，方程为(x+c)2+y2=4a2,设折痕l与PF的交点为N，则N的轨迹是以O为圆心，半长轴为半径的圆，方程为x2+y2=a2,同时折痕l是椭圆的切线.

探究6 若∠F ′PF=θ,则S△MF ′F=b2tanθ.

证明 因为∠F ′PF=θ,所以∠F ′MF=2θ，|F ′F|2=|MF ′|2+|MF |2-2|MF ′||MF|cos2θ4c2=4a2-2|MF ′||MF|(1+cos2θ)|MF ′||MF|=2b21+cos2θ=b2cos2θ

S△MF ′F=12|MF ′||MF|sin2θ=b2tanθ.

通过对上述折纸过程的分析、探究及证明，使学生对椭圆的定义、方程及性质有更深的理解，起到了学以致用，理论联系实际的作用.如果将此题中的F点移到圆外，折纸的方法相同，就可以得到一道关于双曲线的折纸操作题，有兴趣的读者不妨先操作再做更深入的探究.

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