托勒密定理在代数中的应用

“圆内接四边形中两组对边的积的和等于两对角线的积”，这是著名的托勒密定理. 众所周知，它在几何领域特别是圆这一内容中有着极为重要的作用. 然而，很多人不清楚它其实在代数研究中也有着举足轻重的作用，甚至在某些代数问题的解决中，特别在数学竞赛辅导中扮演了一个非常活跃的角色.

1 定理内容

图１已知：四边形ABCD内接于⊙O,则有：AC·BD=AB·CD+AD·BC.

证明：作∠2=∠1，显然可得：△APB∽△ACD，△ADP∽△ABC，所以AB·CD=AC·BP,BC·AD=AC·PD,所以AB·CD+BC·AD=AC·（PB+PD）=AC·BD.

定理揭示了几何元素间的有关关系,但我们完全不必要拘泥于几何中,只要把相关的几何量用习惯的数量关系来表示,即设AB=a,CD=b,BC=c,AD=d,AC=e,则定理即可写成:ab+cd=ef(*).这样原本几何量间的关系式转变成了数量间的结构式(*)了,也就是说,凡满足了(*)式的形式即可去尝试构造图1的几何图形,很多问题也都能迎刃而解了.

2 证明等式问题

托勒密定理作为揭示圆内接四边形中边与对角线的特定关系定理，在几何中起着独特的作用. 然而,我们将其“移植”到代数中，更是起到了如此“妙不可言”的作用，正所谓：数形结合、以形促数、其妙无比啊!

作者简介 源穗宁，男，1962年出生毕业于浙江宁波师范学院数学系，本科学历，中学数学高级教师现任教于宁波惠贞书院《提高学生想象力，培养学生的创造性思维》2001年4月发表于《上海中学数学》，《一道习题教学的一些探索》2001年4月发表于《中学数学杂志》，《初中数学学困生观察特征分析》2003年4月发表于《中学数学研究》《冷眼旁观新课改》2007年6月发表于《中学数学研究》

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”