一道数学奥林匹克试题的引申

谷焕春

山东聊城大学数学科学学院 (252059)

第16届亚太地区数学奥林匹克(2004年3月)压轴题为：

证明：对任意正实数a,b,c，均有(a2+2)•(b2+2)(c2+2)≥9(ab+bc+ca).

《数学通讯》2004年第11期刊登了一种证明方法，此种方法首先采用降幂的策略，利用柯西不等式把所证不等式左边六次多项式的问题放缩为三次多项式的问题，然后利用基本不等式继续放缩，最后采用作差法，利用抽屉原则并经过较复杂的计算得到了所要证明的不等式.笔者通过对本题进行细致研究，得到本质性的证明方法，并对字母个数及幂指数进行推广.

引理 h璱>-1(i=1,2,…，n)，且h璱h璲≥0)(1≤i,j≤n)，则∏ni=1(1+h璱)≥1+∑ni=1h璱.

证：用数学归纳法即可.(略)

引申 设x璱≥0(i=1,2,…,n+1)且x琻璱-1(i=1,2,…，n)同号，则∏n+1i=1(n+x琻璱)≥(n+1)琻∑n+1i=1(∏1≤j≠i≤n+1x璲).

证明：由引理得∏ni=1(n+x琻璱)=∏ni=1［n+1+(x琻璱-1)］=(n+1)琻∏ni=1(1+x琻璱-1n+1)≥(n+1)琻•［1+1n+1∑ni=1(x琻璱-1)］=(n+1)﹏-1［n+1+∑ni=1(x琻璱-1)］=(n+1)﹏-1(1+∑ni=1x琻璱),于是

∏n+1i=1(n+x琻璱)=［∏ni=1(n+x琻璱)］(n+x琻﹏+1)≥(n+1)﹏-1(1+∑ni=1x琻璱)(n+x琻﹏+1)=(n+1)﹏-1(n+x琻﹏+1+n∑ni=1x琻璱+∑ni=1x琻璱x琻﹏+1)=(n+1)﹏-1•｛∑n+1i=1x琻璱+∑ni=1x琻璱+［∑ni=1(x琻璱x琻﹏+1+1)+(n-2)•∑ni=1 x琻璱］｝，由于∑1≤j≠i≤n+1x琻璲≥n∏1≤j≠i≤n+1x璲(i=1,2,…，n+1)，所以将以上n+1个不等式左右两边分别相加，得n∑n+1i=1x琻璱≥n∑n+1i=1(∏1≤j≠i≤n+1x璲),即∑n+1i=1x琻璱≥∑n+1i=1(∏1≤j≠i≤n+1x璲).记x0=x璶,则x琻璱x琻﹏+1+1+∑1≤j≤nj≠i-1,ix琻璲≥n∏1≤j≤n+1j≠i-1x璲(i=1,2,3…，n)，

将以上n个不等式左右两边分别相加，得∑ni=1(x琻璱x琻﹏+1+1)+(n-2)∑ni=1x琻璱≥

n∑ni=1(∏1≤j≠i≤n+1x璲),于是∏n+1i=1(n+x琻璱)≥

(n+1)﹏-1［∑n+1i=1(∏1≤j≠i≤n+1x璲)+n∏nj=1x璲+

n∑ni=1(∏1≤j≠i≤n+1x璲)］=(n+1)琻∑n+1i=1(∏1≤j≠i≤n+1x璲).

另外，注意到(a2-1)(b2-1)•(b2-1)(c2-1)•(c2-1)(a2-1)=［(a2-1)(b2-1)(c2-1)］2≥0，所以a2-1,b2-1,c2-1中必有两个同号，用类似的方法可得到原题的证明，也就是本文开始提到的本质证法.

参考文献

［1］冯志刚.2004年亚太地区数学奥林匹克.数学通讯，2004年第11期.