关于数学课后习题作业的初步探讨

熊雪景

江西省九江市同文中学 (332000)

引言

在学习数学知识的教学活动中，学生完成一定数量的课后作业是学好数学知识极其重要环节.不少学生投入相当大的精力和时间，用于习题作业，但是效果并不理想.其中一个重要的原因是对课后习题作业的功能作用缺乏足够的认识和理解，完成作业的方法不够科学和有效.

本文试图就上述问题作一初步探讨.首先，分析数学教科书中为什么要设置相当数量的习题，从而阐述习题作业的功能、目的；并在此基础上探讨学生进行课后习题作业的基本方法，即在做题中应当注意的事项；最后，探讨习题作业中“精练”与“多练”的关系.

一、习题作业的功能与目的

在所有的数学教科书中，每一章节或每一单元都配有习题，老师讲完每章节或每单元都会布置相应的习题作业.这是为什么?功能是什么?要达到什么目的?

要回答这一问题，需从数学知识的特点以及学习数学知识的目的要求谈起.数学知识一般包括概念、定义、性质、定理、公理、公式、基本法则、计算方法等基础知识和基本技能.这些数学知识用数学符号表示或用文字表述并不复杂，特别是在中学阶段所涉及的数学知识更是如此，一般都很简明，对于具有一定的阅读理解能力的人来讲从字面上一般都能读懂.但是，如果学习数学知识只是停留在符号形式或文字表述层面上，是不可能真正学会数学知识的，更不可能达到学习数学知识的目的和要求.

学习数学的目的在于运用所学知识和思想方法解决各种实际问题，而且要求能熟练运用.为此，必须深刻理解和掌握数学知识.

数学来源于实际.各种数学知识都是对大量的或一系列的相关特殊问题进行观察、实践、推理，运用抽象、归纳的方法去掉表面现象，抓住共有的特征，从特殊到一般而形成的，具有很强的普适性.如果我们只停留在符号形式或文字表述的层面上而不深入到它的实质、本质和可能应用去理解，就不可能真正理解数学知识，从而也谈不上熟练运用，甚至连一般运用也不可能.比如八年级第一章勾股定理，文字表述为在直角三角形中，两条直线边(a、b)的平方和等于斜边(c)的平方，数学符号表示为a2+b2=c2.这一定理是反映自然基本规律的一条重要结论，在数学发展中起着重要作用，体现了数形结合的思想，在现实生活中也有广泛应用.如果学习勾股定理只停留在这一论述上，那么就不可能真正理解和掌握勾股定理.

正是基于上述情况，教科书也好，老师讲课也好，都是通过设置或选定一些特定的实际情景或具体问题来介绍和讲解有关数学知识.那么，通过这样的介绍和讲解，是不是就达到了深入理解、充分掌握和熟练运用的目的要求呢?一般来说，还是不可能的.许多在课堂上似乎听懂了、理解了，但是仍然不会或者不能熟练运用课堂所学的知识来解决相关具体问题.

其主因就是因为缺乏动手实践加强理解这一重要环节.无论是阅读教科书还是听老师讲课，实际上学生是在接受编者或者老师根据他们自身的学习和实践所获得的对这些知识的认知理解.但是，学生没有自身的实践体验，理解这些知识不可能象编者或老师理解得那样深刻，掌握得那样充分.也就是说，在学习数学知识过程中，要深入理解、充分掌握和熟练运用所学知识，有一个不可或缺的环节，就是亲自实践.教科书配置的相关习题，就是为学生动手实践创造一个实际情境，老师讲课之后布置习题作业就是为学生动手实践提供一个平台，通过相关习题作业的实践活动，进一步加深对所学知识的理解，充分掌握和熟练运用所学知识.这也就是教科书中设置习题的主要功能，老师布置习题作业的主要目的.

二、习题作业的基本方法

在学习数学知识中，不少学生投入了许多精力和时间，做了大量的习题，但是并非每个人都达到了预期效果.究其原因，主要是对上节所述的课后习题作业的功能、作用缺乏应有的认识，从而对在进行习题作业时所应采取的基本方法，所应注意的事项，心中无数.在某种程度上，做题就是一切，目的并不清楚，有点为做题而做题，这样的结果事倍功半.

为了达到上节所述的习题作业的功能、目的，应该怎样进行习题作业呢?或者说，在课后习题作业的学习活动中，方法上应该注意什么呢?

第一，在做作业之前，必须认真进行复习，掌握所学知识

我们知道，每节课后教师都是针对所授的知识布置课后习题作业.课本中每一章、节之后的习题都是针对这一章、节的知识点而设置的.如果作业之前，没有复习或复习了但并未掌握所学知识点，在这种情况下开始做题，达不到通过做题加深对所学知识和方法的理解、熟悉、巩固的目的.结果很可能是不知怎样解题或花去很多时间，但做题质量不高，效果不理想，事倍功半.

第二，在动手解题之前，必须认真审题，分析题意，形成正确的解题思路

编者设计或者老师布置一个习题，都是有一定的针对性.学生做题时，首先要认真分析所做习题属于哪一类型的数学问题，涉及哪些方面知识点，应该采用什么方法，运用什么公式等，形成一个正确或基本正确的解题思路.

比如，某次足球联赛中采用循环赛制，参赛的队伍总共有14支，那么总共要进行多少场比赛?

首先分析题意，所谓循环赛制，就是所有参赛的队伍中，每两个队伍之间都要进行一场比赛.如果让参赛队的队长站在同一直线上，把每个队长看作是直线上的点，每两队交一次手实际上就构成一条线段，那么有多少条线段就进行了多少场比赛.所以此题实际上就是数线段的数学问题，采用的数学计算公式为T=n(n-1)2.(T为线段总条数，n为直线上点的个数)

通过以上分析，理清了解题思路，接下来的解题过程就变得容易了.但是，有些学生在做题时，拿起题目就做，做得不对或做不下去了又从头来过.这样做题，即使最终做出来了，效果也不大，因为这对提高运用所学知识解决实际问题的能力帮助不大.只有通过解题实践掌握了解决这类问题的基本规律和方法，那么再遇到类似的问题时就会迎刃而解.现实学习活动中，有的学生在课后习题中做过类似的问题，但是当这一类问题稍作变化时，就不会做了.究其原因，就是不太注意认真分析问题，形成正确的解题思路，并未从中获得或掌握这类题的基本规律和方法.

第三，做题中遇到不会的题目要认真阅读书本，理解有关内容，从书中找到解题钥匙

一般来说，课堂听懂了，课后又认真复习消化，真正掌握了所学的知识和方法，那么完成相关习题作业不会有什么困难.反之，在习题作业中，有的题目不会做，或者做不下去，这说明对题目所涉及的知识和方法学得不够深透，没有真正掌握.所以，这时不是急于怎么把题目做出来，而是应该带着这个问题有针对性地再去认真研读有关知识的章节，重新消化理解.只要真正消化理解了，就能找到解题的钥匙，问题就迎刃而解.

第四，做完作业后，应该认真回顾与总结

通过一定的课后习题作业，达到巩固和熟悉新知识，加深对相关知识和方法的理解的目的.那么怎样达到这个目的呢?其中一个重要的环节就是做完习题作业之后，要认真回顾和总结.

首先，对一些典型题目，认真回顾一下解题的过程，哪些做题步骤正确，哪些方面走了弯路，从而可以提高运用所学知识解决具体问题的能力.其次，对于一些比较典型的题目，总结一下这类题目解题的基本思路和方法.最后，在做题过程中，必然要涉及到一些知识点和有关方法，做完之后重温一下以达到熟悉和巩固的目的.此外，还应注意思考，对这些知识点或方法增加了哪些新的认识和理解，从而达到加深对相关知识和方法的理解.

七年级上册习题3.7中有这样的一道题：用火柴棒按下图方式搭三角形，搭n个这样的三角形需要多少根火柴棒?

下面简要总结一下解题思路：

1.这道题属于探索图形构成规律的类型问题.

2.探索规律涉及的基本方法是按图形(三角形)构成要素，通过观察图形来归纳图形构成的规律，然后用代数式表示.在此题中，从前往后观察，搭第一个三角形用三根，以后每多搭一个就要加两根，所以搭n个即需要3+2(n-1)=2n+1根.

3.考虑问题拓展：实际可以从多个角度来探索规律.

玦.从三角形构成的整体来分析，每个三角形只要两根，最后一个加一根封口，n个需2n+1根；

玦i.若按每一个图形组成火柴棒的数量组成数列：3、5、7、9…进行归纳可得第一个数为3，以后每一个数加2，第n个图形对应的数字为3+2(n-1)=2n+1.

这一例子较为简单，用它来说明习题完成之后如何梳理总结解题过程思路这一问题时，更能突出问题的本质.

上述四点，既是做好作业应遵循的方法，也是一种良好的学习习惯.

三、习题作业中的“精练”与“多练”

如上所述，学习数学只靠认真听课和阅读课本是不够的，必须动手实践——做题，并且还要多做题、多演练.大多数学生也是这样做的，很重视课后习题作业，希望通过做题来提高解题能力.但是，有些同学并未达到最佳效果.为什么会这样呢?主要是做题时演练的方式不当.要达到深入理解、充分掌握和熟练运用所学知识这种状态，需要经历一个从“精练”到“多练”的习题演练过程，也就是说要采取“精练”与“多练”两种方式进行习题演练.

什么是“精练”，就是刚刚学习新内容、接触新知识和方法时，采取的一种习题演练方式.刚刚学习新知识，此时最为需要的是及时熟悉、巩固所学新内容，加深对相关知识和方法的理解.其中一个重要的途径，就是通过习题演练达到这一目的要求.为此，在习题演练时，应该“一步一步、有根有据”地进行，这就是精.

比如，学习解一元一次方程中，解题分五个步骤：1.去分母，2.去括号，3.移项，4.合并同类项，5.系数化为1.刚刚学完新课，应照着这五步依次进行，并且每步要有根有据，即依据什么性质、运算法则等来解题的，这些都要做到清楚明白.这种“一步一步，有理有据”的习题演练，就是习题“精练”，有利于对所学概念、法则深入理解.

什么是“多练”?就是通过“精练”对所学知识有了深入理解后而进行的一种习题演练方式.“多练”从直观意义上理解就是多做题，多进行习题演练.

为什么在“精练”之后还要多做题呢?如前所述因为学习数学知识最根本目的在于充分掌握和熟练运用.在“精练”基础上，进行多练，就可以在更大的范围内，选取更多、更为复杂的问题来演练，这有利于提高运用知识的水平.

比如，数几何图形，基本原则是不遗漏、不重复.依据这个原则，一般采取两种方法：一是根据图形组成复合图形来数；二是根据几何图形构成的要素或特点来数.

例1 如下图，数出直线a上的线段条数.

解：基本线段：AB、BC、CD三条；两条基本线段构成的复合线段：AC、BD二条；三条基本线段构成的复合线段：AD一条.∴线段共有3+2+1=6条.

以上是通过基本线段构成复合线段来解的，通过这样的精练，就可加深对基本图形构成的复合图形这一类数图形个数方法的理解.

在“多练”中，我们可以选取更多、更为复杂的图形来演练.

例2 如图，数出图中矩形的个数.解：矩形个数可由矩形中任意相邻两边为一组合来确定，有多少个这样组合，就有多少个长方形.

横向分析：线段条数为4+3+2+1=10条；纵向分析：线段条数为2+1=3条；因为由一横一纵两条线段就可得到一个子矩形，所以矩形个数为10×3=30个.

不难看出，上题直接运用了例1中数线段的方法，这就是通过“精练”中获得的结果运用到“多练”中去求解题目.所以“多练”侧重知识运用，而不是练习基本知识本身.这样的训练越多，就越能提高运用知识解题的能力，为了达到熟练运用，必须要多做题即“多练”.

通过上述说明，不难理解，“精练”侧重于对所学知识和方法的理解，因此要求“一步一步，有理有据”进行.“多练”侧重于提高运用知识的能力，不要求一步一步、遵循基本步骤，可以直接运用基本知识或基本结果.

那么在实际学习过程中，怎样处理好“精练”与“多练”之间的关系呢?

首先，以教科书中的习题及老师课后布置的作业为对象进行“精练”.因为这些题目都是针对书中所介绍的或是老师上课所讲解的知识精心编写或布置的.目的是通过对这些习题的练习，达到熟悉和巩固基本内容，加深对相关知识和方法的理解.所以必须抓住这些习题，投入较多时间，进行“精练”来达到目的.其次，在精练基础上，选取一些质量好、针对性强的“名题”、“名卷”作为课外辅助习 题，进行多练.因为，如前所述，要能将所学知识充分掌握、熟练运用，靠一、二次“精练”是达不到目的的，应该通过“多练”来达到这一要求.

当然，“精练”与“多练”都是相对而言，而非绝对的.精练侧重知识的理解，同样有助于运用知识能力的提高，“多练”侧重知识的运用与拓展，同样也有助于对知识的理解.实际上“精练”是“多练”的基础，“多练”是“精练”的深化，学生应在实践中结合自己的实际情况处理好“精练”与“多练”的关系.