注重数学思维训练 培养良好的数学思维方式

张丽娟

江苏省无锡高等师范学校 (214001)

“数学是思维的体操”，数学思维是人脑和数学对象交互作用，并按照一般思维规律认识数学内容的内在理性活动.

由于创造性思维并非是单一的思维形式，因此，注重数学思维训练，必须充分重视形象思维，发散思维和直觉思维的培养，并注意各种思维方式的辨证运用，培养良好的数学思维方式.并通过具体的解决数学问题的独立探索和钻研，领会数学思维的规律和方法，发展学生敏锐的观察力和丰富的想象力，从而提高学生的数学思维.

人们在探求未知知识的过程中，由于目的的不同以及思维形态的差异，在由已知条件过渡到结论的思维活动方式方面也往往具有多样性.根据数学认识过程的特点，本文从以下三个方面来探讨这个问题.

一、形象思维是培养良好数学思维的基础

形象思维，是一种借助于具体的形象来展开的思维过程.数学中的形象思维不同于其他形象思维形式(如艺术的形象思维、文学的形象思维)，它是以表象、直感和想象为基本形式，以观察实验、联想类比等形象方法为基本形式的思维方法.

形象思维接通媒介的桥梁是形与象，它有自己专门的活动领域.把数学文字用图形刻画出来，将代数问题转化为几何问题，平面几何中辅助线的添加，立体几何中借助图形和形象进行的推理，变换角度观察图形都是形象思维的具体体现.

在培养形象思维时，经常是由形与象经过思维形成概念，再 由概念联系形与象进行推理，形与象抽象形成的概念与形象之间多次反复地联络、交换信息，从而使形象思维深刻化.

例1 已知a,b分别是方程x+玪g玿=10与x+10瑇=10的解，求证：a+b=10.

分析：通过形象思维，借助直观，根据题意可把一元方程的解看成两个函数图像交点的横坐标，再利用函数的性质进行证明.

证明：如图1，∵x+玪g玿=10,x+10瑇=10,∴玪g玿=10-x;10瑇=10-x.于是a,b分别为函数y=玪g玿与y=10瑇的图像与直线y=10-x交点的横坐标，设两交点分别为A(a,10-a),B(b,10-b)，由于函数y=玪g玿与y=10瑇互为反函数，且直线y=10-x与y=x相互垂直，所以点A与B关于直线y=x对称，所以a=10-b即a+b=10.

例2 已知：正数x、y、z满足方程x2+y2+xy=1,

y2+z2+yz=3,

z2+x2+zx=4,求x+y+z的值.

分析：此题看起来是一个解方程的问题，但如果利用代数的方法，通过解方程来求解，解题过程会非常的繁杂，为了直观、清楚、快捷地解决问题，我们可根据三个方程的数式特征，构造三个有相同顶点且顶角为120°的三角形，再利用三角形的面积公式，便能顺利的求解.

解：如图2，构造三个有相同顶点且顶角为120°的三角形，设OB=x,OA=y,OC=z，由余弦定理：x2+y2+xy=1=AB2,y2+z2+yz=3=AC2,z2=x2+zx=4=BC2,∴AB2+AC2=BC2,故△ABC为直角三角形，∠A=90°,且S△ABC=S△OAC+S△OCB+S△OBA=32,即12xy玸in120°+12yz玸in120°+12zx玸in120°=32,∴34(xy+yz+zx)=32,∴xy+yz+zx=2,又∵(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)=12［8-(xy+yz+zx)］+4=7,∴x+y+z=7.

利用直观想象，借助形象思维是解决数学问题的关键，是培养和形成良好思维方式的基础.

二、发散思维是培养良好数学思维的重要环节

发散思维是对已知信息进行多角度的思考，不局限于既定的理解，从而提出新问题，探索新知识或发现多种解法或多种效果的思维方式，它的特点是思路广阔，寻求变异，对已知信息通过转换或改造进行扩散，派生以形成各种新信息，发散思维在思维方式上是逆向的、侧向的和多向的，在思维内容上是变通的和开放的，它对推广原问题、引申旧知识、发现新方法等具有积极的开拓作用.

发散思维有思路开阔的特点，并能向不同方向发展，很少受目标的限制，它往往能推翻成见，自由地探索新知的领域，以寻求更多更新的解决问题的方法、途径和思路.在解决数学问题时，一题多解是发散性思维能力的最好体现.

例3 已知数列{a璶}是首项为1的正项数列，且(n+1)a﹏+1-na2璶+a﹏+1猘璶=0(n=1,2,3，…)，求它的通项公式.

解法一：当n=1时有2a22+a2-1=0，解出正数a2=12；当n=2时有3a23-2a22+a3a2=0,即6a23+a3-1=0解出正数a3=13；同理可求出a4=14…；由此猜想通项公式为：a璶=1n(n∈N)，然后再用数学归纳法证明.

解法二：∵(n+1)a2﹏+1-na2璶+a﹏+1猘璶=0,∴［(n+1)a﹏+1-na璶］(a﹏+1+a璶)=0,又

∵a﹏+1+a璶>0,从而(n+1)a﹏+1=na璶,利用递推代换na璶=(n-1)a﹏-1=(n-2)a﹏-2=…=a1=1,∴a璶=1n.

解法三：∵(n+1)a2﹏+1-na2璶+a﹏+1猘璶=0,两边同时除以a2璶得(n+1)(a﹏+1猘璶)2+a﹏+1猘璶-n=0,由求根公式得正根a﹏+1猘璶=1+4n(n+1)-12(n+1)=nn+1,∴a璶=a1•a2a1•a3a2•…•a璶a﹏-1=1•12•23•…•n-1n=1n.

例4 求函数y=玸in玿+1玞os玿+2的最大、最小值.

此题既可以用代数的方法，也可以用几何的方法来解决，引导学生利用不同的方法和途径思考问题，能让学生的思维发散，思路活跃，思维敏捷，办法多而新颖.

解法一：由万能公式转化为关于玹an玿2的一元二次函数，然后根据玹an玿2∈R，用判别式求解.设玹an玿2=t，则y=1+2t1+t22+1-t21+t2=t2+2t+1t2+3,即yt2+3y=t2+2t+1,∴t2(y-1)-2t+(3y-1)=0,当y≠1时，t=玹an玿2∈R，∴△=4-4(y-1)(3y-1)=-12y2+16y≥0,∴0≤y≤43,即函数的最小值为0，最大值为43.

解法二：将原函数转化为a玸in玿+b玞os玿的形式，引入辅助角φ，化为r玞os(x+φ)，然后由正、余弦函数的有界性求解.

∵y=玸in玿+1玞os玿+2，从而2y+y玞os玿=1+玸in玿,即y玞os玿-玸in玿=1-2y,∴y1+y2•玞os玿-11+y2•玸in玿=1-2y1+y2,设玹anφ=1y，则玸inφ=11+y2,玞osφ=y1+y2,∴玞os(x+φ)=1-2y1+y2,又|玞os(x+φ)|≤1，从而|1-2y1+y2|≤1，∴(1-2y)2≤y2+1,∴3y2-4y≤0，即0≤y≤43,所以函数的最小值为0，最大值为43.

解法三：把“玸in玿+1”看成“玸in玿-(-1)”，同理把“玞os玿+2”看成“玞os玿-(-2)”，再联想到由两点所确定直线的斜率公式，f(x)就可看成过两点P(-2，-1)和Q(玞os玿,玸in玿)的直线的斜率，这里P是定点，Q点坐标满足：x2+y2=玞os2x+玸in2x=1，即点Q是单位圆上的动点，于是，要求f(x)的最大、最小值，只要构造以下的辅助图形，当点Q在单价圆上运动时，动直线PQ斜率的最大、最小值就是所求.

如图3，过P(-2，-1)作单位圆x2+y2=1的切线PA、PB，A、B为切点，设∠APB=2α,则∠APO=∠OPB=α，所以PB∥Ox，∴k㏄B=0,玹anα=12,∴k㏄A=玹an2α=2玹anα1-玹an2α=43,所以函数的最小值为0，最大值为43.

发散性思维是一种开放性思维，培养和训练发散思维，要力求通过类比、联想等思维方式，使思维向各个方向扩散，实现开放式的、多元化的思维模式，以达到知识的融会贯通.

三、直觉思维是培养良好数学思维的有效途径

直觉思维是指对一个问题未经逐步分析，仅依据内因的感知迅速地对问题答案作出判断、猜想、设想，或者在对疑难百思不得其解之中，突然对问题有“灵感”和“顿悟”，甚至对未来事物的结果有“预感”“预言”等都是直觉思维.

数学直觉思维是人脑对数学对象及其结构、规律在整体上的直接领悟和观察把握，即在观察想象的基础上调动个体原有的经验，根据一定的意向，通过丰富的想象作出的敏锐而迅速的假设、猜想或判断，并跳过若干中间步骤或放过个别细节而直接把握研究对象的本质和联系，它不受固定的逻辑约束，并以潜逻辑的形式进行，以高度省略、简化和浓缩的方式洞察数学关系，能在一瞬间迅速解决有关数学问题.

“跟着感觉走”是我们经常讲的一句话，其实这句话里已蕴涵着直觉思维的萌芽，只不过没有把它上升为一种思维观念，在教学中教师应该把直觉思维在课堂教学中明确提出，并制定相应的活动策略，从整体上分析问题的特征，重视数学思维方法的教学.

例5 已知abc=1，则aab+a+1+bbc+b+1+cca+c+1的值是().

(A)1 (B)0 (C)-1 (D)2

分析：此题的条件少不易入手，根据直觉，结合条件“abc=1”令a、b、c的值都为1，则aab+a+1+bbc+b+1+cca+c+1=13+13+13=1，故选(A).

例6 已知x、y、z∈R+，且x+y+z=1，求函数f(x,y,z)=(x+1x)2+(y+1y)2+(z+1z)2的最大值.

分析：对于本题，若试图直接求最大值，无从下手，观察变量x、y、z可知，它们在条件中地位“平等”，在函数f(x,y,z)中具有对称性.由直觉可以预测，当x=y=z=13时，函数取得最大值，此时，函数f(x,y,z)的值为(3+13)2+(3+13)2+(3+13)2=1003，预测(x+1x)2+(y+1y)2+(z+1z)2≥1003,故只需进一步检验预测结果的正确性.将无目标的最值求解题转化为有目标的证明题，降低了原问题的难度.将不等式的左边展开得f(x,y,z)=(x2+y2+z2)+(1x2+1y2+1z2)+6,当x=y=z=13时，x2+y2+z2=13,1x2+1y2+1z2=27，又13+27+6=1003,直觉告诉我们只需证明：x2+y2+z2≥13(1)，1x2+1y2+1z2≥27(2)，对于不等式(1)，不难通过不等式3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2证得；对于不等式(2)，可由不等式x+y+z≥33xyz，1x2+1y2+1z2≥

33(1xyz)2证得.

在解决问题的过程中，直觉可以触发灵感的到来，但直觉中难免混有假象，必须通过逻辑推理来检验验证，在扬弃的过程中得到正确的结论，因此我们在教学过程中要安排一定的直觉阶段，给学生留下直觉思维的空间，使学生在实践和训练中，通过在整体观察和局部观察的结合中发现事物的规律，猜想、判断、论证.

参考文献

［1］[JP3]任樟辉.数学思维论.广西教育出版社，1996年12月.

[JP]［2］郭思乐，喻纬.数学思维教育论.上海教育出版社，1997年2月.

［3］熊萍.数学思维与数学方法论.四川教育出版社，1992年.