不惧“模仿秀” 贯有精气神

郑云初

浙江省温岭市大溪中学 (317525)

引子：2008年，注定要被历史记住的一年：汶川大地震、北京奥运会……，有幸在这一年送走了又一届学生.因为带高三，复习时做了一些题，即使考后，仍不由自主的关注08高考题，看到山东理科第22题，心有所触，不揣冒昧，试呈一家之言.

1 题目呈现

08山东高考理科数学第22题(最后一题，满分14分)：如图，设抛物线方程为x2=2py(p>0)，M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.

(1)求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；

(2)已知当M点的坐标为(2，-2p)时，﹟AB|=410.求此时抛物线的方程；

(3)是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x2=2py(p>0)上，其中点C满足㎡C=㎡A+㎡B(O为坐标原点).若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

2 题解简析

此题的前两问，由导数的几何意义，得出A、B处的切线斜率，用点斜式表示出两切线方程，即可解决(1)；利用弦长公式、韦达定理，可求得p，(2)获解；(3)是一个探索存在型问题，因DC中点与AB中点所得斜率，即为AB斜率，可得D的横坐标与M的横坐标关系，再分类讨论M相应的存在性.(自行寻查标准答案，在标准答案中，①②不必作差，两边乘以2p，整理即知x1，2是方程x2-2x0x-4p2=0的两根，由韦达定理(1)获解，且解(2)的要素即 刻呈现，可减少一个“思维回路”(文［1］).

3 似曾相识

浏览08年数学高考题时，初见此题，赫然入目的是图形，感觉是那么的熟悉与亲切，直觉她与上年的一道高考题很相似，马上查了一下复习讲义，果然是07年江苏高考数学第19题(附文后)：两题图形如出一辙，对线条略施增删(操作免述)，即可保持两图的一致性；动手做了之后，更觉08山东22题的题设及(1)(2)问与07江苏19题的“相似度”是相当的高.在前后年中出现这种现象，远比在同年中出现这种现象更引起我的关注与思考，关注命题者的思想脉搏，思考我们的教学与复习.

4 寻味之处

命题者的勇气 高考是中国第一考，其社会关注度，用“万众瞩目”来度量，至少要乘两个数量级.面对高考，师生有压力，命题者更有压力，高考试题：说重一点，定人终身；说轻一点，白纸黑字，直面全国师生；说实在点，要有信度、效度、区分度，要体现稳定性、新颖性、选拔性、导向性…….而数学试题中的最后一题，更被称为压轴题，犹如压轴戏，应是最精彩的，总要经受更多的目光与挑剔.坚信08年复习的教师，07年的高考题(全国和各省市)是必看(有些则做、练、讲)的，犹如兵家之力求知彼，估摸08年的命题者也是关注的.而08山东命题者，敢选择与07江苏数学19题“相似度”如此高的题目作为压轴题，不怕“压轴”被“知彼”，不畏被称“模仿秀”，着实勇气可嘉，同时还隐隐透出一种闲看云卷云舒，静听潮起潮落的淡定从容，显得底气十足.

命题者的底气 从题目看题目，山东题将江苏题的抛物线回归到最一般形态，以标准的一般方程形式呈现，更显大气，所设第(1)问的形式层次高(形中问数)，本质更隐蔽；从题解看考查内容，既考查导数的几何意义，直线斜率公式，弦长公式，方程与曲线关系，方程解的意义，韦达定理等知识点，又考查学生分析转化问题、探索问题的能力、字母运算能力等和数形结合、方程思想、分类讨论等数学思想方法的运用，这些无一不是中学数学主干知识与基本方法和必备能力；从题目再探究，不难得出诸如“割线AB的斜率是切线MA、MB斜率的等差中项”、“M点的轨迹与直线AB在y轴上的截距互为充要，即：设b>0，若AB过(0,b)，则M点的轨迹方程为y=-b；反之亦然”等结论，特别是第二个结论中的一点一线，一如抛物线焦点与准线的无数“孪生”，不经意间把我们带入一个意韵无穷的数学世界：这里的美丽不冰冷，这里的思考很火热，这里的发现无止境.至此，我们应该说山东的命题者是“他山之玉精雕琢”而非“模仿秀”了.

命题者的和气 此题作为压轴题，前两问难度中等，入手不难，计算量不大，说明了命题从中学实际出发，体现了对考生的关怀.目光放远点，鲁琼宁粤是一批高中新课程改革省份，07年即已进入新课程高考，其他各省市今明跟上，中学师生十分关心新课程的高考，命题者正通过某些试题谆谆道来：新课程高考，更关注数学的本质与核心；题是外形，法是内在.外形是显性的，可以相似相依，可以截然相反；而法是通性的、本质的，更值得我们去思考、研究、落实，我们的教学落脚点应是中学数学核心的概念、思想方法(文［2］)，通过它们培养学生的智商、情商和能力，使学生素质整体提升，个性得到自主发展.

一点启示 高考命题，重点内容重点考查是一条铁律，这里的重点内容是包含知识方法能力诸方面的，而使这一必然得以呈现的载体——题目，其出现带有一定的偶然性.在复习中，选题要以必然性为主导，不可猜题押题被题牵着走，要研究课程标准、考试大纲的要求，起点放底，主干抓牢，减少教学过程中的盲目性与随意性，增加复习的实效；试题评析时，要及时引导学生回头看，看题目实质考查那些知识，用到那些方法，考查什么，能否进行进一步的探究等，使复习能落到实处.

附：2007年江苏高考数学第19题(满分14分)：如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C(0,c)任作一直线，与抛物线y=x2相交于A，B两点.一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线l:y=-c交于点P，Q.

(1)若㎡A•㎡B=2，求c的值；

(2)若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；

(3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由.

参考文献

［1］罗增儒.数学解题学引论［M］.陕西：陕西师范大学出版社，2001.

［2］课题组.中数核心概念……中期研究报告.陕西：中学数学教学参考，2008，7.