现代数学进入中学研究型课程的思考

把课本知识与社会生活及科技相联系，把传授知识变成生动有趣的探究是学活知识、会用知识的关键，是培养创新意识的根本出发点。林浩然老师将模糊数学引入中学研究型课程的尝试，在学生中产生了令人惊喜的反响，同时也引起我们的思考，新世纪的数学课程应该给中学生哪些数学知识、能力、素养以及如何使他们获得这些知识、能力和素养，为他们以后的持续发展奠定坚实的基础。读者朋友，读了林浩然老师的文章，你有什么想法——

一

2001年6月8日，我为高二学生开了第二堂现代数学研究课。此课从两段录像开始。在第一段录像中学生可以看到如今商场里到处摆满了升级换代的新家电产品一模糊空调、模糊洗衣机、模糊电饭锅等，由此引出什么是模糊数学。第二段录像播放了模糊洗衣机操作的全过程，要求学生仔细观察它的洗衣过程与一般的全自动洗衣机有什么不同。然后老师设问：

一、为什么衣物放入模糊洗衣机后，它不注入水就转动了，难道是干洗吗？

二、为什么它一会儿正转，一会儿反转，一会儿又不转了，是机器出故障了吗？

间隔一会儿后，老师再问：如果都不是，那么它又究竟在干什么？见学生都睁大了眼睛，老师缓缓地说：“它在思考，主人给了我什么样的衣服？它在想，我用哪种方式来洗净它？”

“是真的吗，机器也会想，机器也有智能！”学生的眼光充满了好奇。老师并不急于回答，而是进一步给学生设计了这样一个情景：

某洗衣机厂的技术开发部要招聘人才，很多人去应聘，你是其中之一。轮到你时，人事部经理对你说：“现在市场上有许多升级换代的洗衣机，我们厂虽是名牌，也要面临同样的竞争，为了保住市场份额，我们也必须尽快开发出新的洗衣机，你有没有办法让洗衣机自行判断放入的衣服的质料是化纤制品，还是棉制品呢？

“如果是棉制品，你有没有办法让机器自行判断是哪一种棉制品，是像毛巾那样的柔软布料呢，还是像牛仔布那样的硬厚布料？

“你有没有办法让机器自行判断所洗的衣服是很脏，还是比较脏呢？

“你有没有办法让机器自行判断所洗的衣服是易洗的泥沙型污染，还是不易洗的油渍型污染呢？”

如果你一问三不知，那你应聘的结果就显然不妙了，再深入一步说，如果应聘者都不能解决这些问题，那么这家洗衣机厂早晚要像PT水仙公司那样被终止上市，无情淘汰了！再进一步说，如果我们国家的空调厂、电饭锅厂都招不到懂模糊数学的专门人才，那么我们只有掏出宝贵的外汇向日本人买了。如果我们在科技、教育领域不能及早缩小与发达国家的差距，那我们就不得不受人牵制，看人眼色了。作为新世纪的接班人，你们应该怎么办呢？

老师的话引起了学生的深思，激起了他们的求知欲。接下来，老师又不失时机地把发明创新分成两个层次。第一层，当你看到一项新成果时，如何模仿前人的成果，在模仿中有所发现，并思考第一人是怎么想出来的？第二层，在没有前人经验可供借鉴时，如何成为发明创新的第一人？

“现在让我们来看看别人是怎么解决洗衣机的上述问题的。”接着老师讲了各种传感器、有关曲线及数表，简单讲了人工智能一模糊逻辑控制的三大步骤：精确量的模糊化，模糊逻辑推理，去模糊。简单介绍了计算工具一矩阵及其合成，为以后的模糊数学课程埋下伏笔。

然后老师讲了发明创新第一人的思路之一：反向思维，执果溯因。欲知什么样的A，才会有B，可反过来想，如果已经有了B，会有哪些A？通过大量实验，整理数据，寻找端倪，找出规律。最后老师简单介绍了最近几年人工智能的发展远景，引起了学生无限遐想。

二

课后老师要求学生：谈谈你对现代数学进入中学生研究型课程的看法和建议，谈谈对这节课的看法和建议，谈谈你想对老师说的任何话。结果，收上来的反馈十分令人鼓舞，除了4名学生未交，2名学生没有正面回答，2名学生说不喜欢外，两个班级91.3%的学生都做了认真的思考，归纳起来有以下几种类型：赞誉型

——原以为“模糊数学”是一门挺高深的学问，不过，上了一堂课后，对此有了新的看法和兴趣。其实，它在我们身边无处不在。

——对着一个被解剖的洗衣机大谈数学，既新奇又有趣，也让我们用惯洗衣机的人，第一次明白洗衣机的工作（原理）。

学习数学这门学科究竟是

为了什么呢？追根究底还是要解决工农业上遇到的实际问题，然而我们现在学习的、以及将来要学习的只不过是前人所发明的，而我认为学习它们一方面是为了掌握解决问题的办法，但更重要的是学会一种创新的办法，我们需要的是创新意识，不能永远只走前人走过的路。直到读了“模糊数学”，我才刚刚体会到当代数学的脉搏，它让我深深地了解到用模糊的目光看待问题。虽然只有这么一节课，但我觉得受益匪浅。

转变型

——现代数学对于我们来说，既熟悉又陌生，熟悉的是，它们一直围绕在我们身边，与我们日常生活密切相关，陌生的是，其中的奥秘却不清楚，这就牵涉到现代数学中的模糊数学。模糊数学打破了以往我对数学的看法，原本认为数学是死的，1+1=2是不变的，相应的1=1，但现在学了极限1°型等于e（即lim（1+-）”=e），这种改变已经令我惊讶，记忆中的数学，活了起来，再初步了解模糊数学后，更彻底否定了先前的看法，其实数学是一门很活跃，夹杂着许多奥秘，惊叹何其多的学科，引发人们无穷兴趣。

——对于高中学生而言，十数年的对于数学的接触，都可算得上对于传统数学的领会，然而数学对于现实生活中的影响就不会太大，特别是对于几何问题，函数问题，我们都不会发现它有多少可取之处。难怪某名人在一文中指出：“数学只要学到初二就够了。”……不过，如果现代数学的进入是数学这门科学的必然结果的话，数学的作用在我们学生中的用处必会大大提升，而數学也就未必只需要学到初二为止了……这堂课虽然不能全部深入理解，但总体而言是上了个层面，对于知识的增加，知识面的扩展有很大的触动作用，不错！

——数学总让我想了这个又担心漏了那个，我不喜欢数学，它太过于理性，总是那么错就错，对就对，没有半错半对，太不讲情面了。这就是我讨厌数学及所有理科的原因。今天上的“模糊数学”，从不知数学也可以同文学一样模棱两可的，所以有一些意外，惊喜。

遗憾型

——可惜，只有这可怜的一节课留给我们分享，应试教育的框框把我们牢牢地封在枷锁里，不得动……我真的不明白，对于学文科选政治的我，学这么多数学今后究竟有多大用处。感觉“模糊数学”不仅实用，而且有无限远大的潜力逗留在数学领域。可惜，我没有这个福份学如此精彩而又生动的新数学了。心中真是遗憾极了！

对于一名高中学生，学习

一些简单的模糊数学也并不困难，可以拓宽我们的视野，让我们了解到现代数学对于当代科技的作用。只是这样的课太少了，我们只了解了模糊数学的概念和应用，还未能对它有更进一步的深入细致的了解和学习。我想，这些关于现代数学的知识我们必须在高中阶段有一定的了解，不谈深入细致，起码也要对它有大致的了解。

——我很喜欢那天的课，生动有趣，但我知道，不可能天天都那样上课，最起码短期内是无法实现的。如果说从学以致用的角度出发，我们完全可以丢弃现在的教科书，学有用的、对于将来的工作会有所启发和作用的现代数学。但，不幸的是，我们还要面临严峻的高考。我们根本不可能以我们微薄的力量去与强大的教育体制抗衡。

探究型

——有些衣物是会褪色的，那么洗下来的水便是被染过色的，这样下来，洗衣机就会一直不断地洗……是否还可以加上辨别溶液（被染过色的水）和浊度（污水）的装置，这使我联想到了化学里的“丁达尔现象”，是否可以依此类推，使其功能更进一步。

——人体的疾病难以控制和变化莫测。在研究传染病传播问题时能否利用模糊数学的原理，及时地预测传染病的传播范围及危害（程度）和感染人数及恢复情况，这样就便于有关的医疗卫生部门做出相应的决策。

——中国目前对模糊数学的研究，在国际上的大致水平如何？与先进国家差距有多大？在模糊数学的实际运用上，我国目前的技术水平如何？建议型

——模糊数学应从较低年级便开始进入学生的课程中来。从小进行教育，课程可以独立开设一门单独的，与经典数学分开的课程。

——我认为老师可以介绍同学们去看一些此类书籍，让学有余力的同学可以对现代数学有更深入的了解，并加以研究。

（因篇幅限制，学生的看法不能在此一一列举）

三

《上海市全日制普通高中课程计划》及其实施意见，强调了“研究型课程”的培养目标要“以学生发展为本”作为指导思想。学生是学习的主体，在学习活动中，学生是内因，教师、教材是外因，教师的教是为了最终的不教。

长期以来高考考什么，老师教什么;老师教什么，学生学什么。这种被动的应试模式，老师教得很辛苦，学生学得也很努力，看似风平浪静，波澜不惊，但每年高二的会考以后，总有不少学生带着强烈的情绪，撕去了他们朝夕相处的课本（重点中学也不例外）——这表明学生不是庆幸我已经学会了什么，而是表示我再也不需要它了！其实，现今的学生看似闷头在题海中沉浮，但通过各种媒体、网络，他们对外部世界还是相当了解的，他们知道国外中学的数学没有这么难学;他们也知道尽管我们的中学生能屡屡在国际奥林匹克数理化大赛上捧回金牌，但新中国培养的学生却一直与以创新为标志的诺贝尔奖无缘;他们从前辈那里知道，现在花大力气学的许多东西，有不少却是在将来没有什么用处的……因此，当研究型课程作为二期课改的重点展现在他们面前的时候，他们感到惊喜、意外，他们有话要说。从学生的字里行间，我们可以看到：

对应试教育的痛恨与无奈，对注重素质教育的研究型课程的欢迎与欣喜。源于科技发展的需要，创建于1965年的模糊数学，因其贴近生活，贴近时代引起了学生的强烈兴趣和求知欲。在学习尖子认为“模糊数学应从较低年级便开始进入学生的课程”的同时，对数学一直颇感困难的学生也改变了对数学的认识，恢复了自信。“原来我不是数学盲”，认为“老师可以介绍同学们去看一些此类书籍”。

经受了挫折教育，知道什么是科学精神。模糊数学在美国初创时，曾被不少权威学者认为是骗子和头脑发热的产物，模糊理论在欧美曾一度成了地下技术，直到日本兴起模糊热，发明了不少模糊产品，占领了欧美广阔的市场之后，美欧才如梦初醒，急起直追。模糊数学的这段曲折发展经历，使学生不但看到了“结果”，也看到了“过程”。这与传统课本只重“结果”，忽略“过程”有很大的不同。学生从“过程”的不易，“问题还未完全解决”，由衷地钦佩数学家坚忍不拔的科学精神和创新精神，激发了进一步探究的欲望，这与以往被动地接受书本知识又是很大的不同。

转变定势思维模式，开拓新的思维方式。传统精确数学，非此即彼，对就是对，错就是错，没有半对半错，传统数学关注的是事物的两极。模糊数学亦此亦彼，除了两头，还有许多中间过渡状态。传统数学对应的普通集合以0，1为特征，间断、突变，而模糊数学中的模糊集合以（0，1）为区间，连续、渐变，事物从一端逐渐转变到另一端。两种数学代表了两种不同的思维方式，学生在思索模糊数学是不是将哲学上的“从量变到质变”规律数学化了？

有了探索求知的欲望，创新的萌芽。从“丁达尔现象”、物理的脉冲、疾病的传播到军事领域的应用，学生的探究是发散性的，不受框框的约束，孕育着许多新思维、新曙光——如何用数学的眼光来观察周围的事物？

以模糊逻辑、模糊数学理论为基础的人工智能及其远景引发了学生无限的遐想，而观察力、想像力正是创新的基础。

变被动接受式的学习为主动参与式的学习。激发了学生关注我国与世界发达国家在模糊数学理论及技术应用上的差距，树立了民族贵任感，在情景教学中，由模拟应聘，优胜劣汰，使学生强烈地感受到今天的学习与明天的竞争上岗之间的关系，从而树立了要做学习的主，人的意识。

四

四年多来，对“模糊数学初步”在中学试教的探索与实践，引起我对几个问题的思考：

教育究竟应是授之以鱼，还是授之以渔？

如何处理无限与有限的矛盾？如何与时俱进？

新时代产生新问题，新问题呼唤新观念。

信息时代使人们面临的世界日益复杂多变。在复杂的大系统中，复杂性总是伴随着模糊性。

工业时代的基本特征是大批量地生产工业产品，我们现行的教育体制是与之相适应的，是批量地生产“人的产品”，体制上表现为划一化、同步化、标准化。信息时代下，新教育体制的走向应是多样化，增加选择性和灵活性。

一百多年来的近代史告诉我们：“落后就要挨打”，在经济全球化的今天，同样精辟的是：“超前不仅仅是自豪”！模糊数学的应用日益广泛，且已开始步入以前传统精确数学所不能进入的软科学，如经济学、社会学、法学等人文科学，发达国家相继投入了大量人力财力，它是一门非常有发展前途的学科，它的内涵及思想不是几堂课就能包容得了的。笔者正在编写适合普通中学学生选用的大众版模糊数学教材，在新大纲简易逻辑的基础上，引出简单的模糊逻辑初步及简单的模糊控制（若A则B），目标是使普通中学的高中生能粗知一点模糊数学，从而使模糊数学能从今天的大学数学专业的选修课逐步成为必修课，进而成为理工科大学的公共课、基础课，使将来我国有一大批掌握模糊控制设计能力的工程师。当大众版在中学站稳脚跟后，我准备搞第二个版本一提高版，适合重点中学理科班学生使用，较系统地阐述模糊数学基本理论，目标是使这些学生进入大学本科以后能直接攻读今天研究生所学的课程，以便将来他们能直接参与到完善模糊数学基本理论的攻坚战中去。第三步，我准备搞综合版。模糊数学的优势在于它适合以前精确数学所不能进入的软科学，如经济、人文等学科。我准备做点研究，向其他学科渗透模糊数学的基本思想，使中学生饶有兴趣地学会用数学的眼光来觀察世界，分析周围的事物，找出合适的数学模型，解决一些实际问题。如何使现代数学更好地进入中学研究型课程？如何使模糊数学的思想向其他学科渗透？这是个庞大的系统工程，希望能继续得到有关领导及专家的关心、支持和帮助。