第一届美国数学邀请赛试题解答及分析
1983-01-01
今年3月22日，上海市有76名中学生参加了第一届美国数学邀请赛。竞赛结果，有2名获得15分(满分)，2名获得13分，3名获得12分，8名获得11分，13名获得10分。现在，我们对这次竞赛的试题给出解答，并作扼要分析。这些解答未必最优，仅供参考。一、设x，y和z都大于1，ω是正数，且有logxω=24，1oyω=40，logxyzω=12，求logzω。
这是一道基本题。主要考查对数运算法则和对数的性质。极大多数考生完成了本题，其解法如下:
【解法一】由logχω=24，1ogyω=40，logχyzω=12，知0<χ≠1，0
∴logωz=1/12-1/24-1/40=1/60，
logzω=60。
【解法二】根据题意，得
χ21=ω，y40=ω，(xyz)12=ω1/5。
∴ω=z60，logzω=60。
二、设f(χ)=|χ-p|+|χ-15|+|χ-p-15|，其中0 本题的目的，主要在于考查学生能否熟练地掌握绝对值概念和函数的最小值的含义。 【解】∵0 若要使f(x)最小，那么只须使x最大即可。所以当x=15时，f(x)min=15。 是多少? 本题虽然难度不大，但有24名考生答错，尤其是其中22人的答数竟然都是720。分析其原因是直接将方程两边平方得出的是关于x的四次方程。这时新方程中的常数项是720，于是，欣然地根据推广的韦达定理，却不考虑这时的四个实根中有两个是增根，从而导致错错的结论。 【解法一】将原方程改写成 ∴χ2+18χ+45=25即χ2+18χ+20=0，其判别式为正。∴两实根之积是20。 =2t(因为t≥0)，t2-2t-15=0，(t一5)(t十3)=0。 ∵t≥0，∴t=5。(t=-3舍去) χ2+18χ+45=52， 即χ2+18χ+20=0。∴χ1χ2=20。 四、一金工车间的切割工具呈有缺口的圆形，如 之长为2cm，∠ABC为直角。求B点到圆心的距离(以cm为单位)的平方。 这是一个可以用几种不同方法来解答的几何计算题。如果学生善于掌握有关三角函数的基本运算以及余弦定理的运用，那末就容易想到以下的三角解法。 【解法一】连接AC两点，过O向AC作垂线交于D点(见图1)，则AD=DC， 本题还可用几何方法求解。 【解法二】如图2，连AC，OB。过O、B点分别作直线AC的垂线，且分别交AC于E、D点，又过B点作BF⊥OE。 ∴OB2=OF2+FB2=26。五、设两复数χ和y的平方和为7，它们的立方和为10，χ+y能取到的最大实值是多少? 本题主要考查学生能否熟练地掌握解方程组和因式分解的基本技能。 【解法一】根据题意，得 将①式代入②式，得S3-21S+20=0，即(S-1)(S-4)(S+5)=0。 ∴Smaχ=(χ+y)maχ=4。 【解法二】由(χ+y)2=χ2+y2+2χy及χ2+y2=7， 得(χ+y)3-21(χ+y)+20=0， 解得χ+y=1，χ+y=-5，χ+y=4。 ∴(χ+y)maχ=4。 六、设an=6n+8n，决定a83除以49的余数 本题的得分率很低，有51名学生得零分，其原因是考生不能灵活正确运用二项式定理来求解。 【解】an=(7-1)n+(7+1)n=〔7n-Cn17n-1+…-1〕+〔7n+Cn17n-1+…+1〕=2〔7n+Cn27n-2+…+Cnn-373+Cnn-17〕=2·49〔7n-2+Cn27n-4+…+Cnn-37〕+14n。于是 a83=49k+14·88=49k+1162.(k是整数 ∵1162除以49的余数是35，∴a83除以49的余数是35。 七、某个国王的二十五位骑士围坐在圆桌旁，他们中间的三位被选派去杀一条恶龙(设三次挑选都是等可能的)，令P是被挑到三位骑士中至少有两位是邻座的概率。若把P写成一个既约分数，其分子与分母之和是多少? 这是一个求等可能事件的概率题。在76名学生中，仅有16名答对。可见学生在这类问题上是薄弱的。 【解法一】根据题意，总的基本事件数为Cn3，又根据在三位骑士中至少有两位是邻座的条件，于是，一种情况是，三位骑士依次相邻，那么有n种选法；另一种情况是，二位骑士是邻座，此时第三位骑士就不选在已经邻座的两位骑士的两旁。也就是说，第三位骑士只能在(n-4)位中任选一位，这样有n(n-4)种选法。因此，满足条件的基本事件数为n+n(n-4) 【解法二】从围坐中选一人，有C125种选法，并始终约定被选中的人的右边(或左边)那个人也随同而去。如此，已选得相邻两人，再在余下的人中选一人即可，为避免重复，在与已选两人不相邻的21人中选一人(有C121种选法)，然后加上已选两人之右邻(或左邻)的一人的一种，计得(C121+1)种选法。故满足条件的选法有C125(C121+1)种。于是 ∴分子与分母之和是57。 的最大值是多少?本题主要考查组合公式及简单逻辑推理能力。 二位数质因子，则0 在分子小于200的奇因子中，如果其含有最大的二位数质因子p，那末它除含有p外，只能再含3的一个因数。∵183=3·61，∴p=61。 本题是一个函数极值的问题。大多数考生能熟练运用平均值定理进行求解。该题得分率较高。 【解法一】∵0<χ<π，∴χsinχ>0，于是 f(χ)min=12。【解法二】记f(χ)为y，记χsinχ为u，即有9u2-yu+4=0。 (下转47页) (上接41页) 由u是实数，得(-y)2-4·9·4≥0，即y2≥144，于是y≤-12，y≥12。 ∵0 得xsinx=2/3，即xsinx=2/3时，ymin=f(x)min=12。 十、数1447，1005和1231有某些共同点，即每一个都是以1带头的四位数，且每个数恰好有两个数字相等，这样的数共有多少个? 这是一个组合题。如果学生能够掌握组合概念和分类的思想方法，本题也不难解决，但本题得分并不理想，答错者竟达59人之多。 【解法一】事实上，满足条件的四位数有如下六类: 11×△，1×1△，1×△1，1△△×，1×△△，1△×△。 (待续) (摘自《科学画报》1983年第7期)
