把握关键步骤 完成素养目标

摘" 要：二次函数与几何综合问题是初中数学的重点和难点问题，也是初高中数学的衔接点，是历年全国各地中考的热点问题，常常以中考压轴题的形式出现.二次函数与几何综合题涉及的知识点较多，对学生的逻辑思维、推理能力要求较高，主要考查学生对数形结合思想的理解.基于此，笔者以常见的二次函数与几何综合问题为例，突出解决问题的关键步骤，立足于点的坐标表示，进而确定线段长度，最后解决图形面积等问题，以此完成素养目标的培养.

关键词：二次函数；几何问题；综合题；关键步骤；素养目标

中图分类号：G632""" 文献标识码：A""" 文章编号：1008-0333（2025）05-0033-03

收稿日期：2024-11-15

作者简介：王芳，硕士，中学一级教师，从事初中数学教学研究；冯俊，硕士，中学高级教师，从事初中数学教学研究.

在历年全国各地中考试题中，经常出现以二次函数为背景的几何综合题，这类问题通常涉及最值问题，其综合性较强，对学生而言具有一定的难度.在复习备考过程中，最主要的教学思路有：进行单元模块化教学，使学生逐步感受二次函数与全等三角形、相似三角形的有机融合，二次函数与特殊三角形的存在性相结合，二次函数与特殊四边形相结合，等等.笔者以一道原创的二次函数与几何综合问题为例，探究关键步骤在问题解决过程中的作用，以此提升学生的数学核心素养.

1" 题目呈现

如图1，已知抛物线L：y=-23x2+bx+c，与y轴的交点为C（0，2），与x轴的交点分别为A（3，0），B（点A在点B右侧）.

（1）求抛物线的表达式；

（2）点P是第一象限内抛物线L上的任意一点，过点P作PQ∥y轴交AC于点Q，求线段PQ的最大值；

（3）如图2，点D，G在x轴的上方，点D在点G的左侧，点E，F在x轴上，且四边形DEFG为矩形，是否存在点D，使得矩形DEFG的周长最大？若存在，求点D坐标；

（4）如图3，将抛物线沿x轴向左平移m（mgt;0）个单位，所得抛物线与x轴的左交点为M，与y轴负半轴的交点为N，若∠NMO=∠CAO，求m的值.

2" 题目分析

本题是一道典型的二次函数与几何问题综合题，主要涉及二次函数表达式的确定、线段最值及周长最值、确定点的坐标、相似三角形的判定与性质、二次函数图象的平移变换等知识，涉及的知识点较多，具有较强的综合性，对学生而言具有极强的挑战性.在初中数学教学中，为降低解题难度，不妨引导学生从点的坐标表示入手，为问题解决创造有利条件.

对于问题（1），主要考查待定系数法确定二次函数的表达式.根据已知条件，抛物线L与y轴的交点为C（0，2），与x轴的交点分别为C（0，2），即点C（0，2）和C（0，2）都在抛物线L上，将点C和点A的坐标代入y=-23x2+bx+c，即可得到关于b和c的二元一次方程组，从而易得到抛物线L的表达式为y=-23x2+43x+2，这种求函数表达式的方法即为待定系数法.

对于问题（2），它是关于线段的最值问题，解决此问题时，首先需要表示点的坐标.根据题意，可设P（m，-23m2+43m+2），根据点A与点C的坐标，容易得出直线AC的表达式为y=-23x+2.由此可以得到Q（m，-23m+2），然后根据两点之间的位置关系，容易用含m的代数式表示线段PQ的长度，即PQ=-23m2+43m+2-（-23m+2）=-23m2+2m.不难发现，PQ是关于m的二次函数，根据二次函数的性质易知，当m=32时，线段PQ能够取得最大值，其最大值为32.由此解题过程可以发现，借助点的坐标可以得到线段的长度.在本题中，易发现线段PQ的长度是不断变化的，最后借助二次函数的性质得到了最大值.根据已知条件及图形结构特征，易发现△APC的面积可转化为32PQ，即三角形面积的最值与线段PQ的最值本质上是一样的［1］.

对于问题（3），类比问题（2）的研究思路，从点的坐标入手，可设点D为（n，-23n2+43n+2），易知点E为（n，0），由于抛物线的对称轴为直线x=1，根据对称性可知xE+xG2=1，即n+xG2=1.由此可知点G的坐标为（2-n，-23n2+43n+2）.从而可得线段DE=-23n2+43n+2，线段DG=2-n-n=2-2n.所以矩形DEFG的周长可以表示为2DE+2DG=-43n2+83n+4+4-4n=-43n2-43n+8.由此可以看出，矩形DEFG的周长是n的二次函数，根据二次函数的性质可知，当n=-12时，矩形DEFG的周长取得最大值，最大值为253.

对于问题（4），抛物线向左平移m个单位得y=-23（x-m）2-43（x-m）+2，由条件∠NMO=∠CAO及∠NOM=∠COA易发现△MON∽△AOC.从点的坐标入手，由平移可知M（-1-m，0），因为点N在y轴上，所以可得N（0，-23m2+43m+2）.从而可知线段OM=-1-m=1+m，ON=-23m2+43m+2=23m2-43m-2，根据相似三角形的性质可得ONOC=OMOA，即2/3m2+4/3m-22=1+m3，解得m=4或m=-1.因为m＞0，所以m=4.

3" 教学思考

3.1" 模块化教学模式对学生解题的不良影响

二次函数与几何综合问题是历年全国各地中考的重点内容，也是学生解答的难点问题之一，对于学生的运算能力要求较高.多数学生处理二次函数与几何综合问题的能力较弱，面对复杂多变的题目显得措手不及，缺乏分析问题的思路.究其原因，它与教师在教学过程中采用的模式有关.通常情况下，教师将此类问题分为二次函数与特殊三角形的存在性结合题、二次函数与全等三角形或相似三角形问题综合题、二次函数与线段最值综合题、二次函数与平行四边形综合题、二次函数与几何图形变换等［2］.这样的模块化教学模式的想法固然是对的，教师也想通过这种方式让学生学会解决不同类型的二次函数与几何综合题.但是这样的模块化教学方式存在两个问题：一是学生只关注教师介绍的几类问题，如果出现从未见过的综合问题，学生就会束手无策；二是学生普遍认为上述模块彼此之间无因果关系，学习过程中采用的方式是分模块理解并消化，一旦出现综合性问题，就会出现解题困难.

3.2" 学生须准确把握解决问题的关键步骤

学生的主要问题是无法把握核心关键步骤，只是单纯依照模块进行理解与学习.在学习过程中，当学生碰到复杂问题时，就会出现无法有效分析、加工问题的现象.不难发现，解决二次函数与几何综合问题的关键步骤是首先表示点的坐标，然后表示线段的长度，最后研究几何图形的周长、面积、相似三角形及特殊三角形等问题，具体过程如图4所示.

3.3" 基于二次函数与几何综合题培养核心素养

数学核心素养主要包含三个方面，即用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界.关键步骤的理解对于核心素养的培养至关重要.在二次函数与几何综合题中，用字母表示点的坐标是一种符号意识，学生要通过设某点的横坐标进而表示纵坐标，这里学生必须清楚点在某条直线上或者某抛物线上，这其实就是一种数学眼光，即已知点的横坐标可代入确定纵坐标的值，不知道横坐标的情况下可以用字母表示.

从确定位置到点的坐标再到线段长度，最后到几何图形的周长、面积、三角形相似等问题，从逻辑上看，它符合学生用数学的思维思考现实世界的方法，从一维直线到二维平面，点动成线、线动成面、面动成体等思考方式.学生可以通过已知的事实，合乎逻辑地得出结论，构建严谨的数学逻辑体系.

数学语言主要体现在数据意识或数据观念、模型意识或模型观念、应用意识.在解决二次函数与几何综合题时，三角形相似问题最终转化为线段之比，即利用线段的比就可以表达三角形相似.简单来说，线段的长度或线段之间的数量关系可以表达几何图形的关系，这符合数学语言表达世界的认知.

4" 结束语

二次函数与几何综合题是初中数学教学的重点和难点.在教学过程中，教师需引导学生探究数学解题中的核心步骤，以此实现核心素养的培养.在复杂的二次函数与几何综合题中，关键步骤往往能够起到画龙点睛的效果，可以帮助学生迅速解决问题.

参考文献：［1］ 王丽.数形结合思想在初中数学解题中的应用：以“二次函数与几何图形”问题为例［J］.数理化解题研究，2024（2）：38-40.

［2］ 王东国.例析二次函数与几何综合题的最值问题［J］.中学数学，2023（16）：69-70，77.

［责任编辑：李慧娇］