三类函数问题的解法剖析

函数是高中数学中的重要模块.常见的函数问题有函数解析式问题、单调性问题、最值问题、周期性问题、函数应用问题等.函数问题通常会侧重于考查二次函数、指数函数、对数函数等基本初等函数的图象和性质.笔者对下列三类问题的解法进行了总结，下面结合实例作详细的介绍.

一、函数运算问题

函数运算问题侧重于考查幂函数、指数函数、对数函数等基本公式和运算性质，常用的有 （ an ） n = a、loga M N = logaM - logaN、loga（MN）= logaM + logaN、logaN = logm N logma、logaMn = n logaM（n ∈ R） 等.解答函数运算问题，需根据函数式的结构特征选用合适的运算公式和性质进行运算.

例1

解

本题中涉及了指数函数式、对数函数式，我们需根据公式logaN = b ⇔ ab = N （a gt; 0，a ≠ 1，N gt; 0） 进行指对数互化，灵活运用对数的运算性质loga（MN）= logaM +logaN和换底公式logaN = logbNlogba，来建立 a、b、c 之间的关系.

二、函数图象问题

函数图象问题的常见命题形式有：（1）根据函数的解析式画出函数的图象；（2）根据函数的图象求函数的最值、单调区间.解答函数图象问题，需熟练掌握二次函数y=ax2+bx+c、幂函数y=xa、指数函数y=ax、对数函数y=loga x等函数的图象和性质，并学会通过平移变换、旋转变换、对称变换等作出复杂函数的图象，以通过研究函数的图象顺利获得答案.

例2.函数f（x）=的图象为（）.

解：

该函数的解析式较为复杂，我们无法直接画出函数的图象，需仔细研究函数的解析式，令x=-x、xlt;0、xgt;1，将其分别代入函数的解析式，以判断出函数的奇偶性、单调性，并求得函数的取值范围.

例3.

解：

我们需先仔细研究函数的图象，明确函数的单调性、最高点、最低点，以及图象的变化趋势；然后选取合适的特殊值代入函数的解析式中，通过排除法找到与图象相符的函数解析式.

三、函数应用问题

函数在实际生活中的应用较为广泛.解答函数应用问题，首先需要根据题意确定自变量、因变量，建立合适的函数模型；然后将相关的数据代入函数式中来建立关系式，进而利用基本初等函数的定义、性质、图象求得问题的答案.

例4.某品牌塑料袋经自然降解后残留量y与时间t（单位：年）之间的关系为y=y0∙ekt，其中y0为初始量，k为光解系数.已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的75%，则该品牌塑料袋大约需要经过（）年，其残留量为初始量的10%.（参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477）

A.20 B.16 C.12 D.7

解：

题目中已告知自变量与因变量的关系式y=y0∙ekt，我们只需根据已知的数据求得ek=；再将其代入ekt=10%中，即可利用对数函数的运算性质获解.

例5.某工厂统计资料显示，一种产品的次品率p与日产量x（件）（x∈N且0lt;x≤100）之间的关系如下表：

解：

对于问题（1），我们需先根据表格中的数据找出次品率p与日产量x之间的关系，并建立关系式；再根据题意构造出关于日赢利额y和日产量x的函数.对于问题（2），需根据问题（1）中得出的函数解析式进行换元，令t=108-x，通过分离常数配凑出基本不等式，进而求出最值；最后还需检验所求的值是否满足生活实际情况.

总的来说，在解答函数问题时，同学们不仅要灵活运用基本初等函数的基本公式、定义、性质、图象，还要重点研究函数的解析式、定义域、特殊值，以通过函数运算，研究函数的图象和性质，获得问题的答案.

（作者单位：江苏省如东高级中学）