例析配凑基本不等式的几个技巧

基本不等式：若a、bgt;0，则≤，当且仅当a=b时等号成立.基本不等式常用于求代数式的最值、取值范围以及证明不等式.运用基本不等式解题，需满足三个条件：（1）两个式子必须都大于0；（2）两式之和或积为定值；（3）取等号时不等式成立.一般地，我们很容易找到第一、三个条件，却很难找到第二个条件.那么，如何寻找第二个条件呢？关键是配凑出两式的和或积，并使其中之一为定值，下面我就和大家一起来探讨一下.

一、分离常数

一般地，若代数式为分式，且分子的最高次数高于或等于分母的最高次数，则可以使用分离常数法来配凑基本不等式.先通过凑项将分式化为最简形式，使得整式与分式分离，即将其化为“整式+分式”的形式；然后通过添项或凑系数等方式将整式配凑成最简分式的分母的倍数，以使两式之积为定值，这样就可以直接运用基本不等式求最值.

例1.

解

将该分式的分子、分母同时除以 x 2 ，即可将分子化为常数，将分母化为三式之和：x 2 + x 2 + 4 x 2 ，而其积为定值，利用基本不等式的变形式abc 3 ≤ a + b + c 3 求解即可求得最值.

二、整体代换

有时根据题目中的条件很容易求得某个代数式的值，此时可以将该值代入目标式中，通过整体代换来改变目标式的结构、形式，如将和式化为积式，将积式化为和式，从而配凑出两式的和或积，并使其中之一为定值，这样就能运用基本不等式快速求得问题的答案.

例2.已知agt;0，bgt;0，a+2b=1，求+的最小值.

解：

由于a+2b=1，所以将目标式+乘以“1”，这样不会改变其大小；再将“1”用a+2b替换，即可配凑出两式、的和，且其积为定值，直接运用基本不等式就能求得最值.

三、换元

当遇到较为复杂的目标式时，通常可以用一个新元来代替其中的某个式子，以使目标式得以简化，并改变其结构、形式，这便为我们配凑基本不等式找到了新的路径，从而顺利配凑出两式的和或积，并使其中之一为定值.

例3.已知a，b为正实数，且2b+ab+a=30，试求y=的最小值.

解：

通过换元可将目标式化为-2（t+）+34.而该式中的t+为两式的和，且这两式的积为定值，便可以利用基本不等式顺利求得最值.

总而言之，运用基本不等式求最值，关键要根据目标式的特征将代数式进行合理的变形，通过分离常数、整体代换、换元等方式配凑出两式的和或积，并使其中之一为定值，再运用基本不等式求得最值.

（作者单位：江苏省如皋市第二中学）