如何解答三角函数求值问题

三角函数求值问题侧重于考查三角函数的定义、性质、诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式、二倍角公式、辅助角公式等.常见的三角函数求值问题主要有三种类型，即给角求值问题、给值求角问题和给值求值问题.下面结合实例，谈一谈这三类三角函数求值问题的解法.

一、给角求值问题

给角求值问题的常见命题形式是：由一些非特殊角的三角函数式或值求某个三角函数式的值.我们需将已知角与所求值中的角关联起来，进行合理的拆分、拼凑，灵活运用两角和的正弦公式、两角差的正切公式、二倍角公式、辅助角公式等进行三角恒等变换，将目标式化为含有已知角、特殊角的式子，从而顺利求得目标式的值.

例1.求tan 20°+tan 40°+tan 20°tan 40°的值.

解：

本题中 20° 和 40° 都是非特殊角，无法直接求得函数的值.但仔细观察，可发现 20° + 40° = 60° ，而 60° 是特殊角，于是根据两角和的正切公式得出 tan 60° = tan（20° + 40°） = tan 20° + tan 40° 1 - tan 20°tan 40° ，就能直接利用特殊角 60° 的正切值求得函数式的值.

例2.求co（2）sc4（o）0（s）0°-s1的值.

解：

该函数式中涉及了根式、分式、非特殊角的三角函数式，较为复杂.我们需先运用二倍角公式，根据同角三角函数的基本关系，将根号下的式子化为平方式，以去掉根号；然后根据辅助角公式、二倍角公式和诱导公式将分子和分母变形为只含有cos 10°式子，就能通过约分化简函数式.

二、给值求角问题

给值求角问题通常要求根据某些角的三角函数值求一个角的大小.解答这类问题，往往要先建立已知角与所求角、特殊角之间的关系，灵活运用二倍角、辅助角公式、两角和与差的三角函数公式、诱导公式等，求得所求角的正弦值、余弦值、正切值；然后根据已知条件确定所求角的范围，进而确定所求角的大小.

例3.已知α，β都是锐角，cosα=，cos（α+β）=，求β.

解法1.

我们先根据同角三角函数的基本关系求出 sin α 的值；然后根据两角和的余弦公式将 cos（α + β）= -11 14 展开；再将已知的值代入，即可得到一个关于 sin β 和 cos β 的方程；最后结合方程 sin2 β + cos 2 β = 1 求出 cos β 的值

解法2

解法2采用了整体思想，先求出 sin α 和 sin（α + β） 的值；然后将 α + β 看作一个整体，用两角差的余弦公式将 cos[（α + β）- α] 展开，即可求出 cos β 的值.这种解法避免了解方程，更加简便.

三、给值求值问题

给值求值问题的常见命题形式是：已知某个角或多个角的三角函数值，求某个三角函数式的值.解答这类问题的关键是建立已知式和目标式之间的联系.首先明确角之间的关系，然后灵活运用拆角和拼角的技巧，将角统一；再根据辅助角公式、二倍角公式、两角的和差公式将函数名称统一，以求得所求角的三角函数值；最后根据诱导公式、同角三角函数的基本关系求得问题的答案.

例4

解法1

解法2

解法1是将角3α-β拆分为2α+（α-β），解法2是将角3α-β拆分为2（α-β）+（α+β）；再分别根据诱导公式、两角的和差公式、二倍角公式求得3α-β的正弦值.

可见，解答三角函数求值问题，不仅要熟练运用相应的公式进行恒等变换，还要善于发现角、函数名称之间的联系与区别，通过整体代换统一函数式中的角、函数名称，以快速求得问题的答案.

本文系福建省教育科学“十四五”规划2023年度“协同创新”专项课题《指向拔尖创新人才培养的高中数学探究活动模型的研究》（立项批准号Fjxczx23-287）；2021年度福建省基础教育课程教学研究课题《“强基计划”背景下拔尖创新人才培养的实践研究》（项目编号MJYKT2021-176）阶段性研究成果.

（作者单位：黄立，福建省泉州第一中学；蔡双玉，福建省石狮市石光中学）