谈谈解答隐零点问题的几个“妙招”

有些函数或导函数虽有零点，但我们根据题目中的条件无法求出该零点的准确值，这类零点被称为隐零点.隐零点问题的难度一般较大，我们需灵活运用函数的性质、图象，以及方程、不等式、导函数的性质，才能顺利获得问题的答案.下面主要介绍解答隐零点问题的三个“妙招”.

一、整体代换

在无法求得隐零点的值时，我们往往可以根据题意建立关于隐零点的关系式，这样就可以用该关系式进行整体代换，从而使问题获解.

例1.设函数f（x）=e2x-alnx.（1）讨论函数f（x）的导函数f′（x）零点的个数；（2）证明：当agt;0时，f（x）≥2a+a ln.

解：

根据题意可得导函数的零点x0满足e2x0=，于是将其变形为ln x0=ln-2x0，并代入函数式中，通过整体代换求得问题的答案.在进行整体代换时，要注意将代数式进行适当的变形，避免对隐零点取值范围进行讨论.

二、二次求导

如果通过一次求导无法确定导函数零点的取值范围，就可以尝试进行二次求导，通过研究导函数的单调性和最值，来确定导函数零点的取值范围或建立有关隐零点的关系式.

例2.设函数f（x）=ex-1-x-ax2，若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围.

解：因为f（x）=ex-1-x-ax2，f′（x）=ex-1-2ax.令g（x）=ex-1-2ax，则g′（x）=ex-2a，设其零点为x0.

因为x≥0，所以ex≥1.当a≤时，g′（x）≥0，则g（x）在[0，+∞）内单调递增，故g（x）≥g（0）=0，则f′（x）≥0，所以f（x）在[0，+∞）内单调递增，可得f（x）≥f（0）=0.当agt;时，若x∈（0，x0），则g′（x）lt;0，所以g（x）在（0，x0）内单调递减，所以g（x）lt;g（0）=0，则f′（x）lt;0，所以f（x）在（0，x0）内单调递减，则f（x）lt;f（0）=0，不符合题意.所以a的取值范围是（-∞，].

对于该导函数的零点，我们不易将其表示出来，需通过二次求导求得导函数的单调性、最值，从而确定导函数的零点，然后将其作为函数的极值点，就能快速求得函数的最小值.

三、等价转化

对于较为复杂的隐零点问题，我们可以根据零点的定义建立方程，并据此构造出合适的函数模型，将问题等价转化为函数的单调性、最值问题，方程的根的问题，不等式问题，通过研究新函数的图象、性质，利用零点存在性定理，求得问题的答案.

例3.已知函数f（x）=xlnx，（1）证明：f（x）≥-；（2）已知函数g（x）=-x2+x-k，若对区间[，1]上任意x均有f（x）≤g（x）恒成立，求实数k的最大值.

解：

我们先将不等式进行变形，构造函数h（x），将问题等价转化为k≤h（x）min；然后根据零点存在性定理确定隐零点的个数和范围，即可快速确定函数h（x）的最小值.

上述三种方法都是解答隐零点问题常用的方法.在解题时，同学们要抓住隐零点的特征，建立有关隐零点的关系式，借助函数的性质、零点存在性定理，顺利求得问题的答案.

（作者单位：山西省阳泉市第一中学校）