例说空间几何体体积的三种求法

空间几何体的体积问题侧重于考查圆柱、圆锥、棱柱、棱锥等常见空间几何体的特征以及体积公式.这类问题的难度一般不大.笔者对求空间几何体体积的三种方法进行了总结，下面结合实例作详细的介绍.

一、公式法

对于规则的简单空间几何体的体积问题，我们可以直接运用公式法来求几何体的体积.这就要求我们熟记圆柱、圆锥、棱柱、棱锥等的体积公式，根据几何体的结构特征和边长求得高线长和底面的面积，即可利用圆柱、圆锥、棱柱、棱锥等的体积公式解题.

例1

解

要求圆锥的体积，我们需根据圆锥的体积公式求解.首先根据圆锥的对称性寻找垂直关系，构造出直角三角形；然后根据勾股定理和三角形的面积公式求得圆锥的高线长，将其代入圆锥的体积公式即可解题.

二、割补法

对于不规则的几何体，通常需采用割补法，将几何体分割或填补成规则的简单空间几何体，进而运用简单空间几何体的体积公式进行求解.将几何体割补成多个简单几何体后，需根据圆柱、圆锥、棱柱、棱锥等的体积公式求出各个简单几何体的体积，再将所得的结果相加减，就能求出原几何体的体积.

例2

解

过C 点作平行于平面 A1B1C1的平面 A2B2C ，即可将几何体分割为三棱柱 A2B2C - A1B1C1 和四棱锥 C - A2B2BA.再根据柱体和锥体的体积公式求解即可.

三、等体积法

等体积法主要适用于求三棱锥的体积.通常可以根据同一个三棱锥的体积相等来转换三棱锥的底面与高，从而达到快速解题的目的.运用等体积法解题，要从易于求出底面的面积和高线长的面入手.

例3

解

我们很难求得三棱锥 P - MAC 的底面面积和高线长，于是采用等体积法，通过转换底面，求得 VP - MAC = VA - PCM = VA - MNC = VM - ACN ，从而求得三棱锥 P - MAC 的体积.

由上述分析可以发现，每一种方法的特点和适用情形均有所不同.同学们在解题时要仔细研究几何体的结构特征，根据图形的特征明确边角关系，选择合适的方法进行求解.

（作者单位：江苏省南京市天印高级中学）