随机波动率跳扩散模型的价差幂期权定价研究

摘要：以价差幂期权定价为研究对象，运用随机波动率模型和跳扩散模型描述市场结构。首先，基于风险中性概率测度，构建了一个模型，该模型假设资产收益率的方差均服从相同的仿射波动结构，同时资产价格遵循跳扩散过程。随后，运用鞅方法和傅里叶变换技术，导出了价差期权的拟闭型定价公式。这一方法为期权定价提供了一种更加精确且有效的工具。不仅丰富了期权定价理论，还对实际金融市场中复杂衍生品的定价具有重要的理论支持和应用价值。

关键词：价差幂期权跳扩散模型随机波动率随机微分方程

中图分类号：F224;F830.9

ResearchonthePricingofSpreadPowerOptionsintheStochasticVolatilityJump-DiffusionModel

WEIZhue1HEJiawen2*

1.CollegeofInformationEngineering，NanningUniversity，Nanning，GuangxiZhuangAutonomousRegion，530200China;2.CollegeofArtificialIntelligenceandSoftware，NanningUniversity，Nanning，GuangxiZhuangAutonomousRegion，530200China

Abstract：Takingthepricingofspreadpoweroptionsastheresearchobject，thearticleemploysstochasticvolatilitymodelsandjump-diffusionmodelstodescribemarketstructures.Firstly，amodelisconstructedbasedontherisk-neutralprobabilitymeasure，assumingthatthevariancesofassetreturnsfollowthesameaffinevolatilitystructure，whiletheassetpricesfollowajump-diffusionprocess.Subsequently，byemployingmartingaleapproachandFouriertransformtechnology，aquasi-closedformpricingformulaforthespreadpoweroptionisderived.Thismethodprovidesamorepreciseandeffectivetoolforoptionpricing.Itnotonlyenrichesthetheoryofoptionpricingbutalsoofferssubstantialtheoreticalsupportandpracticalapplicationsforthepricingofcomplexderivativesintheactualfinancialmarkets.

KeyWords：Spreadpoweroption;Jump-diffusionmodel;Stochasticvolatility

金融领域中，模型对期权定价起到关键性的作用，传统的Black-Scholes模型在面对逐渐复杂的市场结构中暴露出它的局限性。因而，为更加精确地描绘资产价格的动态变化，学术研究者不断更新优化模型，如随机波动率模型[1-4]和跳扩散模型[5-7]。价差期权是通过对两种或多种资产价格差异的交易来进行定价，被广泛应用各类市场的风险管理。马俊海等人[8]将复杂的SRSV-LMM模型应用于CMS差价期权的定价体系，唐京华等人[9]则通过结合解析方法和数值方法深入研究了价差期权的特性。此外，还有基于交易对手违约风险的定价[10]，随机波动性模型下的定价与对冲[11]，不同市场条件下的表现研究[12]，以及机器学习技术的应用[13]等。当执行价格为零时，价差期权转变为利差期权，丰月姣[14]与孙玉东等人[15]在一个包含跳跃的混合分数布朗运动背景下研究了利差期权定价问题，何家文等人[16]则探讨了非仿射随机波动率跳扩散模型在利差和价差期权定价中的应用。韩婵等人[17]则重点分析了非线Black-Scholes模型在利差期权定价中的运用。价差幂期权是由两个基础资产价格幂函数之间的差异构成，可用于对冲不同产品的价格波动风险[18-20]。价差幂期权在复杂市场模型中的成果较少，因此，文章结合市场结构中的仿射随机波动率模型和跳扩散情形，利用仿射随机波动率跳扩散来刻画价差幂期权两个标的资产的价格动态模型并研究其定价。

1资产价格动力模型

假设金融市场满足如下条件：

（1）金融交易市场是一个可持续进行交易的环境，没有套利的可能性，也不存在市场摩擦。该市场由无风险的债券B和两种无支付红利存在风险的标的资产股票S1和S2组成。

（2）设定两个标的资产S1、S2的变化情况遵循下列仿射随机波动模型：

其中是标准布朗运动，波动过程的均值回复速度为常数，长期水平为，标准差为常数。

（3）利率是固定常数。

（4）在由不确定因素构成的标准布朗运动、，Poisson过程以及随机跳跃幅度序列共同产生的完备概率空间下，两个风险资产价格的动力过程分别满足下列随机微分方程：

，）=，，）=，，）=，参数是刻画两个资产收益过程之间的相关性，分别是刻画各个资产收益过程与共同波动过程之间的相关性。是复合Poisson过程的强度参数，，分别表示资产价格跳跃的百分比，Poisson过程与独立，具有共同跳跃特征，二维随机变量）服从二维正态分布。

引理1[21]如果）服从二维正态分布，则其联合特征函数为

其中

引理2[22]设=Tt，且满足随机环境模型（1），则

]））}，

其中，，，

不依赖于。

设两个标的资产的价格分别遵循模型（1）（2）中的随机微分方程后，计算期权价格公式，关键在于确定股票价格的概率密度函数。这实际等同于求解对数股票价格、的联合特征函数。

引理3在两种标的资产价格满足模型（1）（2）下，它们在风险中性测度Q下的联合特征函数为）+}。

其中

证明：为了在风险中性测度下研究联合特征函数，利用标准布朗运动的独立特性来描述相关的标准布朗运动，在维持独立性的同时，精确地体现两个布朗运动之间的相关性。设是与、、及独立的标准布朗运动，根据，）=，

对模型（1）（2）的随机微分方程运用广义的Ito公式得到，满足下列方程：

2价差幂期权定价

价差幂期权是一种复杂的金融衍生品，其收益结构不仅依赖于两个相关资产的价格差异，还会对该差异进行幂次变换以计算最终收益。因此，在到期日T，该期权的收益函数可以表示为

接下来，将应用傅里叶逆变换技巧来推导价差幂期权的定价公式。

定理1设在两标的资产满足模型（1）（2），则t时刻的价差幂期权价格为

证明依照风险中性定价原理，在风险中性概率及以及由布朗运动、分别产生的域流、、下，到期日T的价差幂期权在t时刻价格为：

这里是二维随机变量（，）的联合密度函数，根据二维Fourier逆变换法计算有

当价差幂期权的执行价格K为零时，其收益函数仅依赖于两种基础资产价格之间的差异，而不会因任何执行价格而受到影响，该设计简化了期权的定价过程和风险管理，此时价差幂期权就是利差幂期权。

定理2设在到期日T两标的资产满足模型（1）（2），则t时刻的利差幂期权价格为

这里表示的虚部，=，。

证明从收益函数结构，可将该期权可视为一种执行价格为随机变量的标准欧式看涨期权，依照风险中性定价原理，

式（7）中，两项数学期望分别选取、作为计价单位，将它们分别变换到测度下，这相当于引入了两种新的概率测度，它们的Radon-Nikodym导数分别为

且E[，E[。即均为的等价概率测度，于是有

由于随机变量的分布函数是由其特征函数唯一决定的，根据傅里叶逆变换法，我们可以得出，。

其中

当收益函数结构中的指数项=1时，价差幂期权就是两资产标准的欧式价差期权，其定价公式为：

推论1设在两标的资产满足模型（1）（2），则t时刻的欧式价差期权价格为

当价差幂期权收益函数结构中的指数项=1，且执行价格K=0，此时价差幂期权就是标准的欧式利差期权，其定价公式为：

推论2设在到期日T两标的资产满足模型（1）（2），则t时刻欧式利差期权为

这里表示的虚部，=，。

3结论

基于金融工程中的风险中性定价概念，运用鞅理论、随机偏微分方程和傅里叶逆变换等数学工具，构建一种融合仿射随机波动源和跳扩散机制的股价波动模型。经过求解，获得了一种适用于仿射随机波动率跳扩散情形下的利差幂期权定价公式。尽管公式的推导过程逻辑性强且复杂，但其形式在金融市场中的应用具有重要的理论意义和实践价值。

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