在概念关联中建构整体认识

一、现象背后：对练习错误的追问

在“长方形和正方形的面积”单元练习中有这样一个实际问题（如图1）：

很简单的一个问题，第二问的错误率却很高，很多学生在第一问求出小路长度也就是水稻田周长后，直接用周长乘3千克求出施肥多少千克。笔者针对这一错误访谈学生：

师：你为什么用周长直接乘3？

生1：我没有看清题目，以为第一问求的就是面积。

师：你不是才用了公式求周长吗，怎么会认为求的是面积？

（生1答不出来）

师：这道题用第一问的结果直接乘3有道理吗？

生2：我其实不应该犯这个错误，因为第一问求出的单位是米，而3千克对应的是每平方米，不一样。

访谈中学生的回答基本都归结为自己没有认真审题，受到连续两问解决问题的惯性思维影响。但对学生的错误进行深度剖析后，笔者认为在“没有认真审题”和“惯性思维”背后更多暴露出的是学生对面积和周长还没有清晰的边界感、敏锐的识别力，这两个同质（度量的结果）异构（度量对象及度量方式）的概念没有真正建立，因而在非良构的情境中还存在“套单位”这样机械应用的现象，甚至频频混淆两者。

二、反思分析：对现有教学的审视

周长和面积是第二学段“图形与几何”领域中重要的教学内容，两者都是与图形相关的概念，图形一周边线的长是周长，内部大小是面积。两者联系密切，但又有本质区别，一直以来都是教学的重点和难点，再加上教学过程中的一些缺失，导致学生容易出现概念混淆，不能准确应用的现象，具体分析如下：

（一）单元跨学期分设，让两者之间的关联显得滞后。

已有各版本教材考虑到难点分散、分段进阶，将周长和面积的教学单元分设在三年级上、下两学期，学生学习这两个概念相距近半年时间，加之长方形和正方形的周长和面积都要根据边的长度计算，面积单位在长度单位基础上建立，相似之处较多，这对学生的认知是一个挑战。单元分设的初衷是希望避免概念混淆，但两者关联不及时，反而不利于两个相近概念的系统建构，造成学生在综合应用它们解决问题时产生混沌的现象。

（二）“可测量属性”的弱化，让概念建立缺乏完整表象支撑。

认识周长和面积，给学生留下深刻印象的往往是“描边线”“涂颜色”，这些具身性操作给学生留下了清晰的图形表象，然而我们必须认识到学生描的是边线而不是周长，涂的是面而不是面积。周长和面积是度量的结果，是可计量的，周长本质上是一条线段的长度，面积是面的大小。周长和面积概念教学时如果缺乏测量活动，学生难以准确建立关于周长和面积的认知，也不利于后续提炼周长和面积的计算公式及准确应用。

三、教学实践：基于概念关联的整体学习

基于教学现状，对于周长和面积，可以通过单元整合，立足概念关联进行整体教学。概念关联有三种基本形式：一是新信息与已有理解之间的关联，二是不同数学概念及其表征之间的关联，三是数学概念与日常生活中的相关现象之间的关联[1]。根据以上概念关联的三种形式，笔者设计了如下教学，组织学生同步认识周长和面积、辨析概念异同，努力从多维视角实现相似概念的准确建构。

（一） 基于已有认知，感知关联。

概念学习是学生基于现实生活经历数学化的过程。郑毓信教授认为，在教学中要能够利用学生已有的知识和经验，使得相应的定义对于学生而言变得丰富和生动起来，而不再是一种空洞的“词汇游戏”，帮助学生从更高的抽象水平重新认识原有的知识和经验，包括对此做出必要的改造或重构[2]。因而，教学可以从创设生活情境出发，唤醒学生对周长和面积的前认知，在情境中建立起两者之间的关联。

1.从生活经验出发整体感知。

学生在学习周长和面积之前，相关生活经验是非常丰富的，课堂上引导学生用数学的眼光精准感知，厘清概念表象边界，从“模模糊糊”走向“清清楚楚”。周长和面积度量的对象分别是“一周边线”和“面”，找准度量对象是度量的第一步。

从学生熟悉的三个场景（视频）引入：场景一，小朋友先给花朵涂色，再用黑色勾线笔勾边；场景二，妈妈擦椭圆形的镜子，先擦镜面再擦镜框一周；场景三，学校整修运动场，先在一周画红色边线，再在中间铺草皮。情境创设后抽象出花朵、镜子、操场的平面图（如图2，边线用颜色标注），请学生猜猜今天可能会研究什么数学知识，并说说理由。根据学生的回答抓住“周长”的“周”和“面积”的“面”，凸显出一周边线和整个面。学生通过指一指、描一描、摸一摸、涂一涂，在活动中感受一周边线围住了整个面，体会它们的位置关系，建立周长和面积测量对象的表象。

2.从整体感知中提炼本质。

一维与二维是周长和面积的本质区别，教学中可以进一步以此作为整体认知的突破口。学生观察到图形边线有的是弯的，有的由几条边组成，无论哪一种都可以化曲为直看成一条线段，也就是说周长本质上可以看作一条线段的长。平面图形一周边线和面连在一起，都是图形的一部分，学生很难一下子与已经认识的线段建立联系，教师可以引导学生试着把周长和面积“分开”观察，通过动画演示让花朵和镜子的边线从图形中抽离出来，拉成一条线段，把操场的四条边一段一段地展开连成一条线段，让图形边线排除“面”的干扰直观呈现出来。“分开”的过程让周长自然拉开了与面积的“距离”，实现从整体感知中提炼出相似概念的本质区别。

（二）基于测量活动，对比关联。

基于已有经验感知关联，学生明确了周长和面积的测量对象，此时对一周边线的长度和面的大小还停留在视觉感知上。通过组织学生进行测量活动，经历测量过程，在测量对比中丰盈两者之间的关联，深度感悟周长和面积的可测量属性。

1.选择标准量，在测量中对比感悟。

在测量活动中，可以借助标准的同类量，通过选择和运用帮助学生建构周长和面积的概念。

例如，出示两个长方形菜地（如图3：4 cm×6 cm，3 cm×7 cm），请学生判断谁的周长长、谁的面积大。

生1：我觉得第一个长方形的面积大，它的周长肯定也长。

一些学生露出了赞同的神情。

生2：我觉得第二个长方形周长更长一些，但是感觉面积比第一个长方形小。

生3：我不同意，我感觉它们的周长和面积都一样。

师：看来大家意见不一致，我们该怎么办呢？

生4：算一算，用公式算。

生5：我也会算，长方形周长就是用长加宽然后乘2，面积就是长乘宽。

很多学生频频点头表示同意。

师：你们了解得真多，计算公式的确可以帮助我们计算周长和面积，但是回到我们对周长和面积的认识——“长度”“面的大小”，我们也可以量一量，想不想动手试一试？

学生带着好奇，异口同声地回答“想”。

师：这里有一些工具（如图4，同样长的小棒，面积相同的小正方形和面积相同的圆），请你选择合适的工具量一量这两个长方形的周长和面积，然后比一比。

选择工具是对概念的重新审视，学生在“沿线摆”和“沿面铺”的过程中，体会周长和面积可测量属性的不同。操作中还发现用圆不能铺满长方形的面，无法准确知道长方形面的大小，为学习面积单位做好了铺垫。

2.根据测量数据，在画图中对比建构。

方格图在平面图形的教学中有重要的价值，它为图形的测量提供了标准，便于计数。借助方格图中单位方格的边长和面积，学生可以根据给定的周长和面积画一画、数一数构造图形，画图过程中学生的理解、纠错、内化是实现概念建构的一个跃迁。

出示方格图（图略），图中每一个方格的边长和面积都用1表示，要求学生在图中画出以下两个图形：（1）周长为10的图形；（2）面积为10的图形。

周长为10和面积为10是完全不同的两个量，学生首先明确边长为1和面积为1的含义，再独立画图。有的学生画长方形，有的画不规则图形，无论哪种画法画出的周长为10和面积为10的两个图形都不一样。在作图过程中，学生体会到即使数据相同，表示的意义不同，画出的图形也不同。当然，像这样有一定思维挑战性的画图，一定会有一些学生画错，教师要及时收集错例，组织大家辨析，在转化错误的过程中深化对概念的认知。

（三）基于开放问题，辩证关联。

感知关联和对比关联完成了对周长和面积概念的完整建构，对于概念的巩固与深化，可以创设开放的问题情境，通过思辨的方式深度关联两个概念，实现学生从对周长和面积的一般性认识到面对具体问题情境时灵活应用的跨越。

1.聚焦不同与相同，在思辨中巩固深化。

出示问题：判断甲、乙两块菜地（如图5），哪一块周长长，哪一块面积大。

教学中我们可以利用这个问题进一步设计开放性问题，给学生提供挑战性任务。（1）怎样才能使甲、乙两块菜地的周长不相等？（2）怎样让甲、乙两块菜地的面积相等？每一个问题都对应多种解决方案。在交流分享中学生逐渐形成共识：图中两部分的周长和面积做比较时，共用边尤为重要。共用边端点动一动位置，就会让两部分的周长不相等（如图6）。同样，共用边无论是曲线还是线段，无论端点是否在长方形顶点处，只要能平分长方形就能让甲、乙面积相等（如图7）。

在上述学习活动中，学生对周长和面积的相同与不同进行比较，巩固并加深了对周长和面积之间区别的认识，明晰了两者之间的“边界”。

2.凸显变与不变，在辨析中内化提升。

图形形状的变化会带来图形属性的变化，周长和面积的变与不变是值得深度探讨的问题。在概念巩固阶段，可以让学生研究图形变化过程中的周长和面积。概念在这一过程中越辩越明，思维也得到锤炼。

例如：小正方形边长和面积都用1表示。请学生用四个小正方形拼一个图形（形状可以自己命名）。

教师展示学生的作品（如图8）。

师：你们拼出这么多图形，起了有趣的名字，很棒！仔细观察，你们觉得这些图形的周长一样吗？面积呢？

生：看起来，田字形周长短，感觉都团在一起了。

生：我觉得周长和面积应该一样吧，因为都是用四个小正方形拼成的。

师：大家各有各的想法，周长和面积是多少，我们得用数据说话。请你数一数、记一记，将数据填在表1中，看看结果如何。

反馈交流：观察填后的表格（略），你有什么发现？什么变了，什么没有变？

生：这三个图形虽然“长得不同”，但是面积一直没有变，周长变了。

师：这是为什么呢？

生：因为它们都是用四个小正方形拼成的，小正方形的面积不“重叠”，合在一起就是图形的面积。

师：为什么面积相同，周长却变了呢？它们都是用四个小正方形拼成的啊。

生：周长是要露在外面的，不同的拼法藏在里面的边数不一样，外面的周长就不同。

师：为什么田字形周长最短呢？我们还可以继续以田字形做拓展延伸（如图9），少了一个小正方形，继续找找变与不变的秘密。

周长和面积的整体教学建立在关联的基础上。找到关联的契合点，采取有效的关联策略是整体教学的关键，概念关联指向的是学生的理解，培养的是学生的量感，促进的是结构化的思考方式，让低阶学习走向高阶学习，为核心素养的培育赋能。

参考文献：

[1]鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[2]郑毓信.多元表征理论与概念教学[J].小学数学教育，2011（10）.

【本文系2023年度国家社会科学基金教育学一般项目“指向创造性成长的儿童研究素养培育理论与实践研究”（编号：BHA230111）的阶段性成果】

（作者单位：江苏南京市力学小学） H