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经历字母概括过

2024-11-22陈金飞

小学教学(数学版) 2024年9期

[课前思考]

2022年版课标提出,数学课程要能够培养学生的抽象思维和推理能力,其中“符号意识、推理能力和模型思想”都被列为重要的数学关键能力。如何培养学生的数学抽象与推理能力是数学教育者共同关注的问题。随着对代数学习研究的不断深入,研究者对小学生代数能力内涵的理解发生了转变,认识到“一般化”和“符号化”才是代数思维的核心,而这体现在代数推理的过程中。

苏教版教材从三年级上册开始每一册都增设了以探究为主题的内容,让学生经历猜想、举例、验证、归纳、总结等探究活动的一般过程,从而培养学生的数学关键能力。五年级下册编排了“和与积的奇偶性”,这一内容是在学生已经认识了奇数、偶数、质数、合数等概念的基础上进行的。通过这一探究活动,一方面,有利于学生从新的视角理解奇数、偶数等概念,感受数学知识之间的广泛联系;另一方面,有利于学生深化已经积累的探索数的特征的活动经验,发展数学推理能力。在执教这部分内容时,教师往往组织学生采用举例的方式寻找规律,通过不完全归纳法从部分推断整体。学生列举几个例子就得出结论,这样的探究过程所积累的活动经验不利于学生形成严谨的思维品质。如何帮助学生基于已有的认知水平,经历用字母表示规律、推理一般性结论的过程,发展学生的代数推理能力,解决学生在小学与初中数学学习中表现出来的代数思维发展的断裂现象?笔者做了如下探索。

[教学过程]

一、创设问题情境,唤醒代数推理意识

谈话:班级图书角的一本新书被借阅者小杰不小心撕掉了一张纸,老师问小杰撕掉了哪两个页面,小杰说他只记得被撕掉的那一张正、反两页的页码和是120。大家帮他想想办法,推算出是哪两页。

生1:我感觉小杰记错了,他说正、反两页的页码和是120,我算了算,好像没有两个连续自然数相加的和是120。

生2:我也发现了,正、反两页的页码一个是奇数,一个是偶数,奇数加偶数的和一定是奇数,不可能是偶数。

师:你们能从数学的角度思考这个问题,非常好!两个自然数的和是奇数还是偶数,其中确实蕴藏着一些规律,今天这节课我们就一起探究数的规律。

[反思]数学学习的过程离不开对规律的探寻。找规律的过程是不断逼近数学本质的过程,是培养合情推理能力和演绎推理能力的过程。课始,设计推理的问题情境,让学生在尝试解决问题的过程中,感受数学充满推理,为后面的学习埋下伏笔。

二、用字母式表示有特征的数,培养代数推理意识

1.用字母表示自然数。

师:和的奇偶性与什么有关?

生:与加数本身的奇偶性有关。

出示一组图形,如图1。

师:从这组图形中,你看到了哪些数?

生:自然数1、2、3、4、……

师:你能从形一眼看到数,以数解形,真有数学眼光。那么任意一个自然数,可以怎么表示呢?

生:用字母n表示。

生:用字母m表示。

师:用字母n或m代表任意一个自然数,可是,用字母表示数有什么独特的优势?

生:具有概括性。

2.用字母式表示偶数。

谈话:(出示图2)现在你能看到哪些数呢?

生:2、4、6、8、……

师:这列数有什么特征?

生:都是偶数,是2的倍数。

师:任意一个偶数用字母怎么表示?

生:用m表示。

生:用2n表示。

师:比较这两种表示方法,各有哪些合理的地方?又有哪些不足的地方?

生:用m表示偶数,不能直观表示出偶数的特征,m还可以表示奇数。自然数用n表示,偶数是2的倍数,用2n表示,一眼就能看出偶数的特征,显示出2×□的形式。

师:同学们,你们现在不仅能用字母表示数,还学会了抓住一列数的特征,推理出用字母式表示偶数。真了不起,用字母式2n概括出所有偶数。

3.用字母式表示奇数。

谈话:(出示图3)这次你看到了哪些数?

生:1、3、5、7、……这些数都是奇数。

师:那用字母式怎样表示任意一个奇数呢?这个问题老师想放手让同学们自己去探究,行吗?

出示学习单,如图4。

师:我们一起听听这几位同学的想法。

生:我是结合图推理的,上下对应,奇数比偶数少一个方块,偶数用2n表示,奇数用2n-1表示。

师:这里的n最小表示几?

生:n最小表示1。

生:我发现所有的奇数都是两个两个地摆,多一个方块,所以还可以用2n+1表示。

师:那这里的n最小表示几?

生:n最小表示0。

师:大家结合方块图,根据奇数和偶数的关系,发现奇数要么比偶数多1,要么比偶数少1,推理出用两种字母式2n-1和2n+1表示奇数。

谈话:回顾刚才的学习过程,如果用n表示自然数1、2、3、……的话,那么偶数用2n表示,奇数用2n-1或者2n+1表示。同学们在用字母表示自然数的基础上,学会抓住数的特征,推理出用字母式概括所有的偶数和奇数。

4.用字母式表示任意有特征的数。

师:数的世界丰富多彩,有特征的数比比皆是,你们能用字母式表示下面两行图形的个数吗?(如图5)

生:第一行图形的个数是3的倍数,用3n表示。

生:第二行图形的个数除以3余1,应该可以用3n-2表示。

师:谁来评价一下,用字母式表示有特征的数,有什么好处?

生:简洁、概括性强,让人一眼就看出一列数的特征,同时,能把具有这类特征的数全部概括进去。

生:用简洁明了的字母式表示有特征的数,便于记忆,便于运用。

[反思]设计四个层次的活动,促进学生的推理能力不断进阶。首先借助方块图表示数量,直观形象,很容易抽象出自然数可以用一个字母n表示,为后面用字母表示奇数和偶数以及任意有特征的数提供思维的拐杖,方便帮助学生从具体走向抽象。接着学生借助方块图,很自然地迁移到用字母m表示偶数。虽然已经意识到要用不同的字母区别于自然数的字母表达,但这样的表达显然不能直观表示出偶数的特征。根据方块图的直观特征,唤醒推理意识,引导学生用2n表示所有的偶数,初步感悟用字母表示数,关键要体现数的特征,偶数的特征是2的倍数,外显的结构是2×□。有了偶数表达的经验,第三、第四层次推理奇数表达的字母式和用字母式表达出其他有特征的数列变得水到渠成。

三、尝试用字母式推理一般性结论,发展代数推理意识

谈话:字母式不仅可以概括数的特征,还可以像数一样进行运算,推理出规律,接下来我们学习“用含有字母的式子推理”。

师:刚才我们学会了用字母式表示奇数和偶数,谁来说说两个不是0的自然数相加,会有几种不同的情形?

生:三种情形,奇数+奇数、偶数+偶数、奇数+偶数。

师:我们先研究其中的一种情形,偶数与偶数相加的和。

(出示图6)

生:我是通过举例、列表发现两个偶数相加的和是偶数,而且没有找到反例。

生:我用字母式相加的方法,2n+2n=4n,4是偶数,所以4n也是偶数。

生:我用字母式推理出任意两个偶数相加,和一定是偶数,因为2n+2m=2(n+m)。

师:同学们,对于这三种有代表性的表达,谁来评价一下?

生:第一种用列举的方法,很容易找到规律。不足的地方是,可能会漏掉反例,那我们从几个例子中得到的结论就可能是错误的。

生:第二种方法和第三种方法用字母式推理很好,2n概括了所有的偶数,但是第二种方法只能表示相同的两个偶数相加,不能概括所有的情况。我更赞同第三种方法。

师:说得真好。用举例发现规律,以部分代表全部,有可能得到错误的结论。用字母式推理,能概括所有的情形,获得的结论是确定无疑的。会用字母式推理,说明你们对用字母表示数的认识更加深入了。

[反思]鉴于小学生的认知发展水平,他们想到的更多是归纳推理,从部分推断整体,这样的推理方式是很重要的验证方式。但是如果仅仅停留在合情推理的阶段,那么学生逻辑思维的发展不会走向深入。到了小学高年级,学习了用字母表示数以后,我们不妨抓住数的特征,引导学生用字母式推理,对和的奇偶性做出解释,从而触摸和感受知识的本质。如此,学生的思维超越了教材,将和的奇偶性规律理解得透彻明了。我们组织学生自主选择用举例的方式或用字母式推理的方式验证结论,学生经历验证的过程,通过比较感悟严谨的演绎推理的优势,扫清了从归纳猜想到演绎论证的思维“障碍”。让学生经历从合情推理走向演绎推理的过程,提升思维的抽象水平。

四、拓展字母式的表达与推理,形成代数推理意识

1.用字母式推导任意两个自然数相加的和的结论。

谈话:刚才我们研究了两个偶数的和,如果换成其他任意自然数,又有什么结论?你会说明吗?

(出示图7)

汇报一:奇数+奇数=( )数。

生1:2n-1+2n+1=4n。

生2:2n-1+2m-1=2(n+m-1)。

生3:2n-1+2m+1=2(n+m)。

生4:2n+1+2m+1=2(n+m+1)。

师:谁来评价一下这四位同学用字母式说明两个奇数相加的过程?

生:第一位同学表达的是两个相邻的奇数,不是任意两个奇数。

生:其他三位同学的证明过程都是正确的,只是生3的证明过程最简约,正好把加1和减1抵消。

小结:不管用哪个字母式来说明,善于思考的同学肯定已经发现:任意两个奇数的和结果都能表示为2×□,我们要尽量选择简约的表达式。

汇报二:奇数+偶数=( )数。

生:2n-1+2m=2(n+m)-1。

生:2n+1+2m=2(n+m)+1。

小结:不管用哪个字母式说明,一个奇数与一个偶数相加,和都是奇数。

2.课堂小结。

师:学到这儿,你有什么收获?

生:我学会了用字母式表示有特征的数,还学会了用字母式通过运算进行推理。

3.用字母式说明更多结论。

师:通过这节课的学习,你能用字母式来说明课始的问题中,为何正、反两页的页码和不可能是120吗?

生:一页纸,正面的页码是奇数,反面的页码是偶数,奇数与偶数相加的和是奇数,不可能是120。

师:能用字母式来说明吗?

生:2n+2n+1=4n+1,结果是奇数。

总结:字母式确实大有用处。我们抓住数的特征,用字母式表达,然后用字母式通过运算验证了我们的猜想。今天的研究在数论世界里只是冰山一角,希望大家用智慧的眼光去探索和发现更多有趣的科学结论。

[反思]代数推理是形式化与符号化的,演绎推理对于小学生而言更是十分抽象的,从真实的实物操作,抽象到数学图式,最后到字母表征,完成严谨的演绎推理,整个过程拾级而上。除去对规律本身的认识和检验,对掌握的证明方式做出新的推广,也是代数推理能力培养的重点。基于学生用字母式推导两个偶数相加的和是偶数的经验,生发出奇数与奇数、奇数与偶数相加的和的规律推导,同时回应了课始设置的问题。学生在用字母推理的过程中,丰富推理经验,进一步感悟字母表达的一般性,形成初步的代数推理能力,这样的教学“有深度”“有温度”。

【本文系江苏省第15期教研课题“QCTI教学模式:培育儿童数学关键能力的探索与实践”(编号:2023JY15-L154)的研究成果】

(作者单位:江苏启东实验小学) H