“土圭之法的故事”教学案例与评析

课前布置

完成如下学习任务单，通过前期的查询资料、动手实践、同伴交流、提出感兴趣的研究问题等方式展开。

[土圭之法学习任务单

《尚书·尧典》中说：“期三百有六旬有六日，以闰月定四时成岁。”这说明，至少在商周时代，人们就知道阳历中一年为366日，并用阳历的周期调整春分、夏至、秋分、冬至四个节气。

那么，人们是如何知道的呢？所用方法被称为土圭之法，也就是立杆测影。如《周礼·夏官司马》中说“土方氏掌土圭之法，以致日景”，即在周朝已经有了专门掌管土圭的官员，被称为土方氏。

任务一：了解土圭之法。

任务二：试一试土圭之法！把影长记录下来。

杆长：__________。

观察时间：__________。 [日期

影长 ]

任务三：选择一个你喜欢的节气，从时间、气候、节日习俗、诗词、谚语等方面进行了解，并记录下来（可以写一写、画一画）。

关于土圭之法和二十四节气，你还有什么想知道或研究的？

]

学习过程

师：我们已经学过一些时间的单位，比如，年、月、日，时、分、秒。地球自转一周，就是一天（日），月亮绕地球公转一周，就是一个月，地球绕太阳公转一周，就是一年。今年是2024年，也是甲辰年，“甲辰年”用的是中国特有天干地支纪年的方法。今天，我们继续研究有中国特色的关于时间的话题。

一、反馈交流，了解土圭之法的故事

1.反馈交流，聚焦问题。

师：课前，老师请同学们完成了一些问题、资料的收集和日影观测。大家有什么收获，又提出了哪些问题？我们一起来看看。

生：我们小组知道了土圭是由圭和表组成的（如图1，用模型演示什么是圭、什么是表）。

生：我们用一个简易的圭表测量太阳影子的长度，发现影子的长度是有变化的。

师：哦，是怎么变化的？

生：影子的变化很小，但是在慢慢变短。

师：你们想知道大家对哪些问题最感兴趣吗？老师对大家的问题做了统计梳理，这三个问题是大家提得最多的，这节课我们就一起研究这三个问题。

（1）土圭之法是什么意思？

（2）二十四节气是怎么来的？

（3）节气对我们的生活有什么帮助？

2.了解什么是土圭之法。

师：土圭之法是测量日影的方法，圭实质上是一把水平尺，竖着的杆子叫作表或者髀。《周礼·夏官司马》中说“土方氏掌土圭之法，以致日景”。每天正午的时候，太阳照在表上，表的影子就会投射在圭尺上。每天观测并记录下来，会发现什么？

师：影长会变化，同学们在前一段时间，也观测了日影，日影慢慢在变短。有一句成语大家比较熟悉，“一寸光阴一寸金”，现在你有没有更明白一点，时间为何可以用长度表示？不仅可以用长度表征时间，还可以用时间表征长度，信不信？1983年国际度量衡大会（CGPM）重新制定米的定义“光在真空中行进[1299792458]秒的距离”为1标准米。如果长年累月坚持不懈地观测并记录，就有了大量的数据，这些数据有没有某种规律？存在怎样的规律？

二、观察探究，发现二十四节气的秘密

1.初步感知二十四节气。

师：《尚书·尧典》中有这么一句话“期三百有六旬有六日，以闰月定四时成岁”。经过不断观测分析及无数天文学家、数学家的努力，古人发现一年有365天、闰年366天，并划定了一年四季。

2.探究四时八节。

师：我们一起来看一组数据，从这些数据中，我们可以发现什么？古人把日影最长一丈三尺五寸这一天定位冬至，最短一尺六寸这一天定位夏至。有了夏与冬，还有春与秋，怎么来确定的？

生：春分、秋分。

师：这个“分”谁知道是什么意思？

生：昼夜均分的意识。

师：很好，春分、秋分，就是这一天日夜均分。

生：还有春分、秋分是rIaU+xoqFgDtZcdRV3Ri0Q==春、秋两季的均分。

生：秋分，是杭州亚运会开幕式的日子；春分，是我们今年十公里毅行的日子。

师：大家说得都很好，这里的“分”就是均分的意思，不仅是这一天昼夜均分，而且是两季的均分。其实还有一个秘密在里面，等一下请同学们去发现。请同学们观察数据，你能确定二至和二分的日影长度吗？你发现了什么？

生：春分、秋分的日影长度刚好是冬至、夏至的平均数。

3.观测与推测。

师：你觉得其他数据分别是哪个节气的？请你填一填，并和同桌说说你是怎么思考的。填好后观察一下，你还发现了什么？小组讨论，将你们的发现记录在练习纸上。

活动一：探究四时八节。

（1）填一填：观察数据，填写影长与节气。

（2）找一找：找找影长之间的秘密，并用自己的方式标记在图2上。

（3）说一说：和同伴交流分享你的发现。

学生探究后反馈。

师：除了二至、二分，还有哪几个节气？

生：春季和夏季的交界，那就是立夏；夏季和秋季的交界，就是立秋。

生：秋季和冬季的交界，那就是立冬；冬季和春季的交界，就是立春。

师：这四个“立”就是四季的开始，刚才我们分出的二至、二分、四立就是二十四节气中最为重要的八节。

师：这几个节气的影长是多少？你是怎么想的？

生：我们发现，冬至日影最长，而立冬和立春是比较靠近冬至的，所以它们的日影长应该是一丈五寸二分小分三；而夏至日影最短，立夏和立秋是比较靠近夏至的，所以它们的日影长应该是四尺五寸七分小分三。

生：我们发现立春和立冬的日影长度是相等的，立夏和立秋的日影长度也是相等的。

师：这些数据有怎样的规律？你还有哪些发现？

生：我们组发现立夏+立冬的影长=一丈五尺一寸，立春+立秋也是，春分+秋分也相等，夏至+冬至也相等，只要对角相加，就都是相等的。

师：大家很了不起，我们一起再来看一看（课件演示如图3）。

活动二：运用规律，推算节气的日影长度。

师：除了四时八节，我们还知道二十四节气的哪些知识？

课件出示：春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连。秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒。上半年逢六廿一，下半年逢八廿三。每月两节日期定，最多相差一二天。

师：说说你有什么疑惑。

生：逢六廿一，是什么意思？

生：我知道逢六廿一，上半年每月的第一个节气大约是6号，下一个节气则是21号，下半年每个月的节气在8号、23号左右。

师：同学们知道得真不少，每个月有两个节气，一年就有二十四个节气。如果我们知道清明的日影长度是六尺五寸五分小分五，能推算出其他节气的影长吗？

小组讨论：如果清明的影长为六尺五寸五分小分五，能根据清明的影长确定其他哪些节气的影长？请你画一画、写一写、说一说可以怎样推算（如图4）。

小组讨论结束后反馈交流。

生：能确定白露，因为这两个节气是对称的，所以白露的影长也是六尺五寸五分小分五。

生：能确定寒露，因为寒露和清明是对角，这两个节气的影长之和是一丈五尺一寸，所以寒露的影长是八尺五寸四分小分一。

生：确定了寒露，我还能确定惊蛰，因为这两个节气也是对称的，惊蛰的影长是八尺五寸四分小分一。

师：同学们太棒了，能通过一个节气的影长确定另外的三个节气，那你们能根据规律，大概推算一下清明的下一个节气谷雨的影长吗？

生：我觉得谷雨在清明和立夏之间，所以我猜影长也在这两个影长之间，清明是六尺五寸五分小分五，立夏是四尺五寸七分小分三，所以，谷雨的影长大约是五尺五寸六分小分四。

师小结：运用我们发现的对称之美、阴阳之和、周期之美这样的规律，可以推算出所有节气的影长。

师：古人是如何确定二十四节气的？在《周髀算经》中有这样的记载：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸，问次节损益寸数长短各几何？

师：《周髀算经》之后，有没有继续研究？比较著名的有赵爽注经，指出《周髀算经》不准确的地方；还有唐代天文学家、数学家、易学家李淳风的批注……关于节气的研究一直在继续。

三、实践运用，联系节气与我们的生活

师：清明过后，下一个是什么节气？《通纬·孝经援神契》中说：“清明后十五日，斗指辰，为谷雨，三月中，言雨生百谷清净明洁也。”体现了每个节气有三候，表示“时候、气候、物候”的不同变化，每候5天，一个节气15天。

师：二十四节气和我们的生活有什么关系？你最喜欢哪个节气？“惊蛰乌鸦叫，谷雨种大田，立秋忙打靛，处暑动刀镰”和我们的生产劳动、自然现象有关。

生：冬至吃饺子，和我们的生活习惯有关。

生：我喜欢清明，可以放假、祭祖。

师：通过土圭之法的研究，你有哪些收获？课后还想继续研究吗？

选项一：选择一个你喜欢的节气，制作一张节气名片。可以从时间、气候、习俗、诗词、谚语等维度来思考。

选项二：如果继续测量影长，会有什么变化？为什么会有这样的变化？

选项三：二十四节气和十二星座一样吗？……

教学评析

一、深刻认识2022年版课标中“综合与实践”领域的新内涵

2022年版课标中，“综合与实践”内容以主题活动和项目学习的形式呈现，实施方式上建议小学主要采用主题式学习，其中第三学段可适当采用项目式学习。主题活动主要分为两类：第一类，融入数学知识学习的主题活动。在这类活动中，学生将学习和理解数学知识，感悟知识的意义，主要涉及量、方向与位置、负数等知识的学习。第二类，运用数学知识及其他学科知识的主题活动。在这类活动中，学生将面对现实的背景，从数学的角度发现并提出问题，综合运用数学和其他学科的知识与方法，分析并解决问题，体会数学知识的价值，以及数学与其他学科之间的关联。“土圭之法的故事”可以算作融入数学知识学习“四季”的主题活动，当然其中也包含面对现实的背景“二十四节气的来历”，开展提出问题、解决问题的综合性实践活动。

过去“综合与实践”的内容描述比较笼统，没有具体所指：可学可不学，学了也不考。现在有了明确的目标和具体内容，组织活动就有了更加切实可行的路径和载体，可操作可测评。

二、生动展示新案例中“土圭之法的故事”教学的新内容

“土圭之法的故事”是2022年版课标中附录的例55，想必会出现在未来的新教材中，黄老师的教学是先行先试。土圭之法的原理是，地球在椭圆轨道上绕太阳匀速运动，太阳照在立杆上的投影长度也是匀速变化的，因此，通过观测投影长度可以记录时间流逝。在古代，测量长度的工具和方法都比测量时间要先进很多，土圭之法的精妙之处是用长度记录时间，用空间表达时间，其基础是数据的测量与分析。教学中，黄老师组织学生思考问题：①观测并记录数据，会发现什么？②日影的长度是怎样变化的？这两个问题既是理解土圭之法的关键，也是学习运用数学工具解决问题的重要方法，即通过观察和测量获得数据，通过数据分析发现规律，形成方法并得出结论。

黄老师的教学设计，也是层层递进的。先是探究“四时”日影长度的关系，理解春夏秋冬的节气，再是推测“八节”的日影长度，发现数据的变化规律，最后补全二十四节气，并且根据彼此之间相互关联进行推导，引导学生探索对称之美，欣赏周期之美。活动中，让学生经历二十四节气的形成过程，仿佛穿越到了古代，经历了创建二十四节气的全过程。

黄老师在课堂上首先提到“一寸光阴一寸金”，用长度单位描述时间，原来早已有了日常积累的经验，存储的经验一下子被激活了；接着，黄老师提到“科学家定义1米的长度是光在真空中行进[1299792458]秒的距离”，过去人们用空间测量来表达时间，现在人们用时间测量来表达空间，“时空”交错，互为融合，这是科学现象的奇妙回转，也是知识间的美妙通达。

三、先行探索跨学科主题学习的新方式

新课程方案要求跨学科主题学习的设置，其课时不少于该门课程10%的课时。一线教师到底应该怎么做？做什么？黄老师以“土圭之法的故事”为主题开展的就是跨学科主题学习，虽然课堂展示的是40分钟，但实际上组织的是长程的学习。

在本课中，我们可以发现，黄老师通过课内学习与课外活动相结合、史料查阅与数学探究相结合的方式，开展了多课时的长程学习。长程学习不仅是深度学习的一种有效途径，也是对当下“短平快”学习形式的有力补充。一个好话题或者好问题，可以激发学生内在学习动力，进而有兴趣开展长程学习。“土圭之法的故事”的探索，涉及古代天文历法等诸多内容，从中可以让孩子们感受科学精神，体会中华优秀传统文化、拓宽视野、增长见识。

跨学科主题学习，是一种学习方式，更是一种教育理念。我们要努力加强综合，注重关联。把数学与其他学科综合起来，把数学与现实世界关联起来，就像本案例的组织中，黄老师把数学与天文、气象、科学、艺术等综合在一起，还试图通过引导学生说一说节气与生活之间的联系，让学生理解在农耕时代，人们利用节气指导农业生产，在现代社会，节气仍然在日常生产生活中发挥着作用，感受到数学就在身边，就在生活里。

（作者单位：浙江杭州采荷第三小学教育集团，杭州市钱学森学校） L