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有限数字单纯复形的数字Lusternik-Schnirelmann范畴

2024-11-06何震杨子康王玉玉

廊坊师范学院学报(自然科学版) 2024年3期

【摘 要】 给出有限数字单纯映射间的数字连续关系、数字连续类、有限数字单纯复形以及有限数字单纯映射的强数字等价等概念。在此基础上,定义了有限数字单纯复形的数字Lusternik-Schnirelmann 范畴和数字几何Lusternik-Schnirelmann范畴。最后,给出了在强数字等价和强数字收缩的情况下,以上两个数字范畴的一些相关结论。

【关键词】 有限数字单纯复形;数字 Lusternik-Schnirelmann 范畴;数字连续类;强数字等价;强数字收缩

Digital Lusternik-Schnirelmann Category of Finite

Digital Simplicial Complexes

He Zhen, Yang Zikang, Wang Yuyu*

(Tianjin Normal University, Tianjin 300387, China)

【Abstract】 In this paper, the concepts of the digital continuous relation, the digital contiguity class, the finite digital simplicial complex and the strong digital equivalence of finite digital simplicial mappings are given. Based on this, the digital Lusternik-Schnirelmann category and the digital geometric Lusternik-Schnirelmann category of finite digital simplicial complexes are defined. Finally, some conclusions are given about the above two digital categories in the case of strong digital equivalence and strong digital collapse.

【Key words】 finite digital simplicial complexes; digital Lusternik-Schnirelmann category; digital contiguity class; strong digital equivalence; strong digital collapse

〔中图分类号〕 O189.23 〔文献标识码〕 A   〔文章编号〕 1674 - 3229(2024)03 - 0025 - 05

1 预备知识

Lusternik-Schnirelmann (LS)范畴不仅是流形理论中探究不变量问题的有力工具,而且还涉及到具体的应用问题: 射影乘积空间和拓扑复杂性的计算[1-2]。另外,其在计算机科学中也有着越来越广泛的应用[3]。近几年,出现了 LS 范畴理论在数字空间中的推广,如数字图像和数字连续映射的数字 LS 范畴[4-5]。然而,针对有限数字单纯复形的数字 LS 范畴理论尚处于空缺阶段。本文在单纯映射的连续类以及有限单纯复形 LS 范畴定义的基础上,将理论进行推广。

20世纪60年代,数字几何领域的奠基人 Azriel Rosenfeld 教授在二维数字空间上引入格点模型,之后又引入数字k-邻接关系, 通过图论的方式对数字图像进行分析,从而证明了在二维数字空间中存在4-邻接关系和8-邻接关系,详见定义1。后来,研究者又引入了公理化拓扑方法, 根据公理化的要求确定像素之间的关系, 利用该方法引入了数字拓扑的概念, 以下着重叙述一些相关知识。

定义1[6] 给定数字空间[ℤn]和自然数[l(1≤l≤n)],若称点[p=(p1,p2,...,pn)],[q=(q1,q2,...,qn)]为数字[k(l,n)]-邻接,并简记为数字[k]-邻接, 需满足:

(1)有至多[l]个指标[i],满足[pi- qi=1];

(2)对其他指标[i]满足[pi=qi]。

比如: 当[n=2]时,有[k(1,2)=4],[k(2,2)=8];

当[n=3]时,有[k(1,3)=6],[k(2,3)=18],[k(3,3)=26]。

定义 2 [7] 令[S]为数字图像[(K,k)]的一个非空子集族,若[S]中的元素[s]满足下面的条件,则称[s]为数字图像[(K,k)]中的数字单形。

(1)[s]中的不同两点满足数字[k(l,n)]-邻接关系;

(2)如果[s∈S]且[∅≠t⊂s],则 [t∈S]。

一个[m]维数字单形是指由[m+1]个点构成的单形,并称这些点为该单形的顶点。

令[P]为一个[m]维数字单形,如果[P′]是[P]的一个非空子集,则[P′]称为[P]的一个面;若[P′]为一个真子集,则称[P′]为[P]的一个真面。

定义3[7] 令[(K,k)]是以[m]维数字单形为元素的有限集合,若满足下面两个条件,则称[(K, k)]为一个有限数字单纯复形。

(1)如果[P∈K],则[P]的每一个面 [t∈K];

(2)如果[P,Q∈K],则[P⋂Q]要么是空集要么是[P]和 [Q]的公共真面。

注 1 有限数字单纯复形的维数即为其包含的最大数字单形的维数。

若有限数字单纯复形的子集仍是有限数字单纯复形,则称该子集为有限数字单纯子复形。

2 主要定义

在以上概念的基础上,本节将经典拓扑学中的理论推广到有限数字单纯复形上。

定义4 给定有限数字单纯复形[(K,k)],[(L,l)]且[φ:(K,k)→(L,l)],任取[(K,k)]中的[m]维数字单形[σ],若[φσ]为[(L,l)]中的[n]维数字单形,[n≤m],则称[φ]为有限数字单纯映射。

定义5 令[(K, k)],[(L, l)]为两个有限数字单纯复形,称有限数字单纯映射[f,g:(K,k)→(L,l)]是[(k,l)]-数字连续的,当且仅当对于任意数字单形[σ∈(K,k)],有[f(σ)⋃g(σ)∈(L,l)],记作[f∼c,k,lg]。

注 2 定义5中的数字连续关系满足自反性和对称性,但是通常情况下并不具有传递性。

定义 6 若称有限数字单纯映射

[f,g:(K,k)→(L,l)]

在同一个[(k,l)]-数字连续类中,即需要存在一个有限数字单纯映射序列[f=f0∼c, k, lf1...∼c, k, lfn=g],其中[fi:(K,k)→(L,l)],[0≤i≤n],记作[f∼k, lg]。

数字连续类的概念是类比数字空间中数字同伦的概念,这也是定义有限数字单纯复形的数字 LS 范畴的关键。

定义 7 对于有限数字单纯映射

[f:(K,k)→(L,l)]

如果存在另一个有限数字单纯映射[g:(L,l)→(K,k)]满足条件[g∘f∼k, k1K],[f∘g∼l,l1L],则称有限数字单纯映射[f]为强数字等价。

注 3 如果在有限数字单纯复形[(K,k)]与[(L,l)]之间存在一个强数字等价的有限数字单纯映射,则称[(K,k)]和[(L,l)]是强数字等价的有限数字单纯复形,并记作[K∼k, lL]。

定义 8 令[(K,k)]为有限数字单纯复形,对[(K,k)]的有限数字单纯子复形[(U,k)]来讲,若存在一个顶点 [x∈(K,k)],使得内射[iU:(U,k)→(K,k)]与常值映射

[cx:(U,k)→(K,k)]

在同一个[(k,k)]-数字连续类中,即[iU∼k, kcx],则 [(U,k)]满足数字单纯子复形范畴的条件。

定义 9 令[(K,k)]为有限数字单纯复形, 若存在它的一个覆盖[{(U0,k),(U1,k),...,(Um,k)}]以及一个顶点[x∈(K,k)], 使得内射

[iUi:(Ui,k)→(K,k)]

与常值映射

[cx:(Ui,k)→(K,k)]

在同一个[(k,l)]-数字连续类中,则其中的最小整数[m≥0]称为有限数字单纯复形[(K,k)]的数字LS范畴, 记作[scatk(K)=m],称

[{(U0,k),(U1,k),...,(Um,k)}]

是[(K,k)]的一个数字范畴覆盖。

在以上定义的基础上,受经典拓扑学中“拓扑空间的几何范畴不是同伦不变量”的影响,给出了有限数字单纯复形的数字几何 LS 范畴的概念,并在文末(定理3, 定理4)讨论了相关的问题。

定义 10 一个有限数字单纯复形[(K,k)]是强数字收缩是指[(K,k)]强数字等价于一个点,也就是说, [1K]与[cx:(K,k)→(K,k)] 在同一个[(k,k)]-数字连续类中。

下文中所有“*”均表示数字单纯复形中的任意顶点。

定义 11 有限数字单纯复形[(K,k)]的数字几何LS范畴是使其能够被[m+1]个强数字收缩子复形覆盖的最小整数[m≥0],即存在[(K,k)]的一个覆盖

[{(U0,k),(U1,k),…,(Um,k)}⊂K],

使得[Ui∼(k,k)∗],[0≤i≤m],记作[gscat(K)=m]。

3 主要结果及证明

这部分主要分析在改变一个有限数字单纯复形上的邻接关系时相应的数字 LS 范畴的变化,并证明强数字等价的有限数字单纯复形有相同的数字 LS 范畴。最后,给出数字 LS 范畴与数字几何 LS 范畴的关系等结果。

定理1 设 [k,l]为有限数字单纯复形[(K,∗)]上的数字邻接关系,当[k>l],有[scatk(K)≤scatl(K)]

证明 假设[scatl(K)=m],由定义 9 可知, 存在[(K,l)]的一个数字范畴覆盖

[{(U0,l),(U1,l),...,(Um,l)}]

以及一个顶点[x∈(K,l)]使得内射

[iUi:(Ui,l)→(K,l)]

与常值映射

[cx:(Ui,l)→(K,l)]

在同一个[(l,l)]-数字连续类中,其中[0≤i≤m]。再由定义 6 可知,存在以下序列

[iUi=ψ0∼c, l, lψ1...∼c, l, lψn=cx],

其中[ψi:(Ui,l)→(K,l)],[0≤i≤n]。

由于[k > l],所以两个满足[l]-邻接关系的点一定满足[k]-邻接关系,从而任意两个[(l,l)]-数字连续的有限数字单纯映射也是[(k,k)]-数字连续的,因此处于同一个[(l,l)]-数字连续类的两个有限数字单纯映射也处于同一个[(k,k)]-数字连续类中。

综上,[iUi∼k, kcx],故[{(U0,l),(U1,l),...,(Um,l)}]也为[(K,k)]的一个覆盖,因此结论成立。

下面给出引理 1 和引理 2,继而证明了强数字等价的有限数字单纯复形有相同的数字 LS 范畴。

引理 1 设[f,g :(K,k)→(L,l)]为有限数字单纯映射,满足[f∼c,k,lg],若存在数字单纯映射

[i:(N,n)→(K,k)],[r:(L,l)→(N,n)]

则有[f∘i∼c, n, lg∘i], [r∘f∼c, k, nr∘g]

证明 任取[(K,k)]中的一个数字单形[σ],由定义4, 有[i(σ)∈(K,k)]。又因为[f∼c,(k,l)g], 此时, 可以得到

[f(i(σ))⋃g(i(σ))∈(L,l)]

即[f∘i(σ)⋃g∘i(σ)∈(L,l)]

同理有

[r∘f∼c, k, nr∘g]

引理 2 设[f:(K,k)→(L,l)],[g:(L,l)→(K,k)]为两个有限数字单纯映射,且满足[g∘f∼k, k1K],则[scatk(K)≤scatl(L)]。

证明 任取[(L,l)]的一个有限数字单纯子复形[(U,l)],由定义 9 可知,存在一顶点[x∈(L,l)]使得内射 [iU:(U,l)→(L,l)]

与常数值映射[cx:(U,l)→(L,l)]在同一个[(l,l)]-数字连续类中。由定义 6, 存在以下序列

[iU= φ0∼c,(l, l)...∼c,(l, l)φn=cx]

其中[φi:(U,l)→(L,l)],[0≤i≤n] 。

考虑有限数字单纯子复形[(f-1(U),k)⊂(K,k)],因为

[g∘f∼(k, k)1k]

从而有以下序列

[1K=ψ0∼c,(k, k)ψ1...∼c,(k, k)ψn=g∘f]

其中[ψi:(K,k)→(K,k)],[0≤i≤m] 。此时,令

[f ′:(f-1U,k)→(U,l)],[j:(f-1U,k)→(K,k)],

由引理1 有

[j=1K∘j=ψ0∘j∼c,(k, k)ψ1∘j...∼c,(k, k)ψm∘j] [=g∘f∘j],

因为[f∘j=iU∘f ′],有

[g∘f∘j=g∘iU∘f ′=g∘φ0∘f ′∼c,(k,k)g∘φ1∘f ′…∼c,(k,k)g∘φn∘f ′,]

由于[φn=cx],从而[g∘φn∘f ′:(f-1(U),k)→(g(U),k)]

为一个常值映射,所以有[j∼(k, k)g∘φn∘f ′],故有限数字单纯子复形[(f-1U,k)⊂(K,k)]满足数字单纯子复形范畴条件。

综上,假设[scatl(L)=q],[{(U0,l),(U1,l),...,(Uq,l)}]为[(L,l)]的一个数字范畴覆盖,而

[{(f-1(U0),k),(f-1(U1),k),...,(f-1(Uq),k)}]

是[(K,k)]的一个数字范畴覆盖,于是[scatk(K)≤q]。

定理 2 若有限数字单纯复形[(K,k)],[(L,l)] 满足[K∼(k, l)L],则[scatk(K)=scatl(L)]。

证明 设[f:(K,k)→(L,l)]为有限数字单纯映射,由[K∼(k, l)L],根据定义7,存在数字单纯映射

[g: (L,l) → (K,k)] ,

使得[g∘f∼(k, k)1K],[f∘g∼(l, l)1L] 。

又由引理2知,

[scatk(K)≤scatl(L)],[scatl(L)≤scatk(K)],故结论成立。

进一步,一个有限数字单纯复形的核是指它的无主要顶点的数字子复形, 且在数字同构的意义下, 核是唯一的。根据定理2, 数字 LS 范畴在强数字等价的条件下是不变的, 故可得以下推论。

推论1 令[(K0,k)]是有限数字单纯复形[(K,k)]的核, 则[scatk(K)≤scatk(K0)]。

接下来讨论与经典拓扑学中一类范畴相似的数字几何 LS 范畴,仍通过数字连续类去类比经典拓扑学中的同伦概念进行讨论。

定理 3 [scatk(K)≤gscatk(K)]。

证明 只需证强收缩的数字单纯子复形满足数字单纯子复形范畴条件。事实上,两个概念唯一的区别是,一个是指恒等映射[1U]在某个常值映射[cx]的[(k,k)]-数字连续类中,另一个是指包含映射[iU:(U,k)→(K,k)]能满足[iU∼(k,k)cx]。

定理4 如果[(L,k)]是[(K,k)]的强数字收缩,则[gscatk(L)≥gscatk(K)]。

证明 不失一般性,假设存在一个强数字收缩[r:(K,k)→(L,k)],对于[(K,k)]中的单形[σ]以及包含映射[i:(L,k)→(K,k)],当[σ⋃(i∘r)(σ)]是[(K,k)]的单形时,有[r∘i=1L]。设[(V,l)]是[(L,l)]的强数字收缩子复形,即恒等映射[1V]在某个常值映射[cw:(V,k)→(V,k)]的[(k,k)]-数字连续类中,由定义6,这意味着存在一系列的数字映射

[φi:(V,k)→(V,k)],[0≤i≤n],

使得

[1V=φ0∼c,(l,l)φ1…∼c,(l,l)φn=cw]

令[r′=r|r-1(V):(r-1(V),k)→(V,k)],

[i′:(V,k)→(r-1(V),k)]

由引理1 以及[φi∼c,(l,l)φi+1],进而

[i′∘φi∘r′∼c,(k,k)i′∘φi+1∘r′]

显然[i′∘φ0∼r′=i′∘cw∘r′=ci(w)]是一个常值映射。

另一方面,有[i′∘φ0∘r′=i′∘1V∘r′=i′∘r′],并且最后一个数字映射与[1r-1(V)]是数字连续的。

事实上,若[σ]是[(r-1(V),k)]中的一个单形,那么它一定是[(K,k)]的单形,因此[σ⋃(i∘r)(σ)]是[(K,k)]的单形且包含于[(r-1(V),k)],又由于[(i∘r)(σ)=(i′∘r′)(σ)],所以[σ⋃(i′∘r′)(σ)]是[(r-1(V),k)]的单形。

至此,已经证明了常值映射[cw]与[1r-1(V)]在同一个[(k,k)]-数字连续类中,这也证实了后者是强数字收缩的。

现在,令[m=gscat(K)]并且

[{(V0,k),(V1,k),…,(Vm,k)}]

是[(L,k)]的强数字收缩子复形的覆盖,因此

[{(r-1(V0),k),(r-1(V1),k),…,(r-1(Vm),k)}]

是[(K,k)]的强数字收缩子复形的覆盖,这就证明了[gscatk(K)≤m]。

4 结论

以上结果给出了同一个有限数字单纯复形在不同的数字邻接关系下,相应的数字 LS 范畴的大小比较,强数字等价的有限数字单纯复形的数字 LS 范畴相等。讨论了同一个有限数字单纯复形的数字 LS 范畴与数字几何 LS 范畴的关系,在强数字收缩下,数字几何 LS 范畴不会降低。

进一步展望,Ayse Boart 和 Tane Vergili[4]给出一个三维数字空间中数字图像的 LS 范畴算法,该算法利用了二维数字空间中 LS 范畴的定义, 这对于在更大维数的数字空间中是否需要再定义 LS 范畴留下了悬念, 并且,是否可以在有限数字单纯复形中进行研究也是值得探讨的。

[参考文献]

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责任编辑 孙 涧

[收稿日期] 2024-04-18

[基金项目] 国家自然科学基金(11301386); 天津市自然科学基金项目(19JCYBJC30300); 天津师范大学研究生创新项目(2022KYCX107Y)

[作者简介] 何震(2000- ), 男, 天津师范大学数学科学学院硕士研究生, 研究方向: 拓扑及其应用。

[通讯作者] 王玉玉(1979- ),女, 博士, 天津师范大学数学科学学院教授,研究方向: 代数拓扑与计算拓扑。