课本中一道求面积最小值问题的解法探究及变式

众所周知，高考试题一般在教科书上都可以找到“影子”。“源于教材，高于教材”已经成为高考命题的一条重要原则，也是专家青睐的一种命题手法。这就启示我们要研究课本习题，重视课本习题的组合、演变、延伸、推广及拓展。下面以课本中的一道复习参考题为例，分析题目的背景、结构和考查目标，从不同视角探究题目的解法，然后对题目进行变式拓展，希望对同学们的学习有所帮助。

一、题目呈现

题目 如图1，过点P（ 1， 1）作直线A B，分别与x轴的正半轴， y轴的正半轴交于点A， B。当直线A B在什么位置时，△A O B的面积最小？最小面积是多少？

此题是人教A版《数学选择性必修第二册》第五章“一元函数的导数及其应用”中复习参考题5的第1 0题。

题目是一道典型的求函数最值问题，由于解答入口较宽，求函数最值除用导数方法外，还可以运用基本不等式、一元二次方程判别式、对勾函数、凹凸函数等知识点，利用整体思想、函数思想、消元思想等数学思想，主要的解题方法有基本不等式法、判别式法、导函数法等。下面避开导数，利用所学方法进行解答，以飨读者。

二、解法探究

点评：解法1、解法2是解题的常规思路，也是直接利用基本不等式进行求最值。当然，本题可以从多角度建立直线方程或寻求A， B两点的坐标关系，如可以利用三点共线、斜率相等、向量共线等，请同学们自行解答。

故当直线A B的横截距为2时，△A O B的面积最小，最小值是2。

点评：构造法是一种创造性解题方法，它是一种解题的辅助手段，通过构造适当的数学对象（如图形、模型、函数、方程、不等式、数列等）转换命题，为解题创造条件。构造法的核心是“构造”，就是“创造适当的结构”，构造法解题贵在“创新”。

点评：三角函数是一个非常精细、有用的工具，三角代换是构造法的一种重要形式，其本质体现了换元思想，消元策略，尤其利用三角函数的有界性可以求解其最值（值域）。

三、变式

在解完一道经典习题后，可以通过改变问题的条件、结论以及问题的背景等进行变式，以锻炼同学们灵活应用不同方法解答问题的能力，达到做一题通一类，以不变应万变的运算素养。

变式3 过点P（ 2， 1）作直线l分别交x轴， y轴的正半轴于A， B两点。

（ 1）求| O A |·| O B |的最小值，及此时直线l的截距式方程；

（ 2）求| P A |·| P B |的最小值，及此时直线l的截距式方程。

四、反思

同学们在平时学习中，要领悟教材主编的意图，深入研究教材中的例题、习题。教材是连接课程方案与教学实践的枢纽，是教师教与学生学的载体。教材例习题只是提供了基本的教学素材，并非教学内容的全部，要树立“用好教材，超出教材”的理念。研究教材时既要尊重教材，又要不拘泥于教材。我们只有吃透教材的精神与实质，创造性地使用教材资源，才能不断提高教材例题、习题的“附加值”。

（责任编辑 徐利杰）