例析直线中的对称思想

在平面解析几何中对称问题是直线方程的一个重要应用，高中数学所涉及的对称问题一般都可转化为点关于点或点关于直线的对称来解决。中点坐标公式和两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具。对称问题经常与物理中的光学知识相结合，考查同学们观察、分析、理解及解决问题的能力。下面举例说明关于这类问题的解法。

一、关于点的中心对称问题

2 .直线关于点的对称

求直线关于点对称的方法常有以下三种。

（ 1）若两条直线关于定点M对称，则其中一条直线上任意一点关于M的对称点在另一条直线上，利用中点坐标公式，用其中一点的坐标表示出另一个点的坐标。

（ 2）由中心对称定义可知，若两条直线关于定点M对称，则它们是一对与定点M距离相等的平行直线，利用两平行线斜率相等及点到直线的距离公式，求出直线的方程。

（ 3）先在已知直线上任取两个点，再求这两个点关于M的对称点，进而求出所求直线的方程。

例2 求直线l： 3 x-2 y=1关于点P（ 2， 2）对称的直线方程。

点评：直线关于点的对称都可以转化为点关于点的对称来处理，只需用中点坐标公式即可。

二、关于直线的对称问题

1 .点关于直线的对称

点评：结合图像，求出点A关于直线l的对称点为A1， | P A|+| P B|的最小值即为| A1B |，解题的关键是对称转化。

（责任编辑 徐利杰）