利用导数研究不等式的恒成立或有解问题

利用导数研究函数的恒成立或有解问题是高考数学中常考常新的热点问题，解决此类问题常涉及到函数与方程、转化与化归、整体换元、数形结合、分类讨论等数学思想方法，往往需要考生综合运用所学数学知识分析问题、解答问题，在此过程中较好地考查了考生逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.下面，我以利用导数研究函数的恒成立或有解问题为例，从程序性知识的角度，给出此基本问题的解题程序，解决考生“怎么做”的实际问题.此外，笔者从近十年的高考真题中选取了若干具有不同函数结构特征的恒成立或有解问题例题，借助例题对不同方法的适用范围和解题思路进行具体地分析和阐述，以使读者更好理解其中含义.

“函数与不等式”是“函数与导数”单元的基本问题之一.针对其中的恒成立或有解问题，本文从函数的图像及结构特征出发，给出“等价转换—构造函数—研究性质”的解题程序，如下图，以此启发考生在遇到恒成立或有解问题时，先观察并分析函数与不等式的结构，根据其结构特征，从直接移项、参变分离、指对变形、放缩简化等方法中选取合适的方法来对函数与不等式进行等价转化，进而构造新的函数，通过对新函数求导，借助导函数的正负研究其单调性、极值、最值等图像与性质，最终得以解决问题.

题型一、含参函数中的恒成立或有解问题

对于一次函数、二次函数、反比例函数，以及简单的指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数，可以结合最值分析法，通过直接移项对函数与不等式进行变形（例如：证明f（x）>g（x）恒成立，等价于证明f（x）－g（x）min>0恒成立）；对于含参函数，常常可以通过参变分离减少对参数的分类讨论，简化分析求解的过程.

例1．已知函数f（x）=aex+a－x.证明：当a>0时，f（x）>2lna+32.

思路分析：（直接移项型）先观察f（x）的结构，f（x）的解析式由指数ex以及一次项x组合而成，是简单函数.再观察所要证明的不等式f（x）>2lna+32，右边仅含有参数a，不含有变量x，于是，要证明f（x）>2lna+32，只需直接移项，证明f（x）min－2lna+32>0.又因为当a>0时，f（x）在－SymboleB@，－lna上单调递减，在－lna，+SymboleB@上单调递增，即f（x）min=f（－lna），代入后构造新函数即可.

解答：要证f（x）>2lna+32，即证f（x）－2lna－32>0.

又因为f（x）min=f－lna=1+a2+lna，故只需证ga=a2－lna－12>0a>0恒成立.

由g′a=2a－1a=2a2－1a可知，当a∈0，22时，g′a<0，ga单调递减；

当a∈22，+SymboleB@时，g′a>0，ga单调递增.故gamin=g22=ln2>0，得证.

点评：本题是利用导数证明不等式恒成立问题，函数的解析式在基本初等函数的基础上带上了参数，考查利用导数求函数的单调性及最值，属于较难题.对于此类问题，可以先尝试对目标不等式进行等价转化，依据其形式及结构特点来构造新的目标函数，通过导数研究其单调性、最值等相关性质以v47eR9bqEWVvE6zpPRvfiA==解决问题.

变式1．已知函数f（x）=ex+ax2－x.当x≥0时，f（x）≥12x3+1，求a的取值范围.

思路分析：（参变分离型）先观察f（x）的结构，f（x）的解析式由指数ex以及二次项ax2－x组合而成，且观察恒成立的不等式f（x）≥12x3+1，其右边还含有三次项12x3，是较为复杂的含参不等式.对于“一参一函数”类型的不等式恒成立问题，联想到通过参变分离的方法构造新的无参数的函数以求其最值，使得问题得以简化.此外，也可用“指数找朋友”的方法，将f（x）≥12x3+1等价变形为12x3－ax2+x+1·e－x≤1来进行分析与讨论.

解答：当x=0时，a∈R；当x>0时，f（x）≥12x3+1即a≥12x3+x+1－ex·x－2=g（x），则g′（x）=2－xex－12x2－x－1x－3；再令h（x）=ex－12x2－x－1x>0，则h′（x）=ex－x－1>0.

于是，当x∈0，2时，g′（x）>0，g（x）单调递增；

当x∈2，+SymboleB@时，g′（x）<0，g（x）单调递减.

故g（x）max=g2=7－e24，可得a的取值范围为7－e24，+SymboleB@.

练习1．已知函数f（x）=ax－sinxcos3x，

x∈0，π2.若f（x）<sin2x，求a的取值范围.

解答：令g（x）=f（x）－sin2x=ax－sinxcos3x－sin2x，则

g′（x）=a－cos2x+3sin2xcos4x+2cos2x.

令u=cos2x∈0，1，则sin2x=1－u，cos2x=2u－1.令hu=－2u+3u2+4u－2u∈0，1，则h′u=4u3+2u－6u3<0，hu在0，1上单调递减，且h1=3，故hu>3.

于是，当a≤3时，g′（x）<0，g（x）在0，π2上单调递减，且g0=0，故g（x）<0，即f（x）<sin2x；当a>3时，x0∈0，π2使得g′x0=0，g（x）在0，x0上单调递增，在x0，π2上单调递减，故gx0>g0=0，即f（x）<sin2x不成立.综上，a的取值范围为－SymboleB@，3.

题型二、与指数或对数函数综合的恒成立或有解问题

由于同底数的指数函数和对数函数互为反函数，且指数和对数具有丰富的运算性质，因此，对于含有指对函数的函数与不等式问题，对于同一问题常常有多种不同的解题思路，如借助六大凹凸函数模型“exx，lnxx，xex，xlnx，xex，xlnx”对解析式进行凹凸变形；再如根据函数求导的运算法则及指对函数导数的特殊性给出的指对分离口诀“对数孤身走”“指数找朋友”；又如由指对运算的性质x=elnx=lnex通过构造变形得到指对同构式，进而设新函数进行整体换元等.

例2．已知函数f（x）=x+1lnx－ax－1.若当x∈1，+SymboleB@时，f（x）>0，求a的取值范围.

思路分析：（对数孤身走）先观察f（x）的结构，f（x）的解析式含有x+1lnx，而x+1lnx′=lnx+x+1x，若是导函数中含有lnx，可能会因为超越方程而无法直接求出导函数的零点，导致解题难度增加；此时，考虑到clnx′=cx，联想到可以对不等式进行等价变形，将与lnx相乘的部分函数给提出来或除掉，使得导函数不再含lnx，简化对导函数的讨论.对本题，f（x）>0可等价变形为lnx－ax－1x+1>0，则新函数的导数为g′（x）=x2+21－ax+1xx+12，令h（x）=x2+21－ax+1为二次函数，由Δ=4aa－2联想到可将0或2作为分类讨论的分界点.

解答：当x∈1，+SymboleB@时，f（x）>0等价于g（x）=f（x）x+1=lnx－ax－1x+1>0，注意到g1=0，且g′（x）=1x－2ax+12=x2+21－ax+1xx+12.

当a∈－SymboleB@，2时，x2+21－ax+1≥x2－2x+1>0，故 g′（x）>0，g（x）在1，+SymboleB@上单调递增，则g（x）>0，符合题意.

当a∈2，+SymboleB@时，令g′（x）=0得x1=a－1－a－12－1，x2=a－1+a－12－1>1.

又因为x1x2=1，故x1<1.于是，当x∈1，x2时，g′（x）<0，g（x）单调递减，此时g（x）<g1=0，与题意矛盾.

综上，a的取值范围为－SymboleB@，2.

点评：本题是已知函数不等式恒成立，求参数取值范围的问题，函数的解析式为包含对数函数的复合函数，考查利用导数求函数的单调性及最值，属于难题.对于含有指数或对数函数的综合问题，往往需要结合其导函数的特征、不等式两端代数式的结构特征，对不等式进行简化变形，使得新函数的导数更加便于求解.

变式2．已知函数f（x）=ex－ax2.（1）若a=1，证明：当x≥0时，f（x）≥1；（2）若f（x）在0，+SymboleB@只有一个零点，求a.

思路分析：（指数找朋友）对于第（1）问，先观察f（x）的结构，f（x）的解析式含有ex，而ex′=ex，它不论经历多少次求导，仍然根深蒂固，若是在导函数中与其他函数同时出现，可能会因为出现超越方程而无法直接求出导函数的零点，导致解题难度增加；此时，考虑到f（x）ex′=f′（x）－f（x）ex，联想到可以对不等式进行等价变形，将ex与其他函数结合，使得ex位于分母的位置，此时导函数正负或零点的讨论只需关注分子的情况，此做法常常能够简化对函数与导数的分析过程.对于第（2）问，根据函数与方程的等价关系，此命题等价于方程ex－ax2=0在0，+SymboleB@上只有一个解，由于此方程为超越方程，且求解目标为参数a的值，于是考虑参变分离，命题等价于函数y=a与h（x）=exx2的图像在0，+SymboleB@上只有一个交点，设新函数讨论函数的单调性，进而得到函数图像的趋势即可求解.

解答：（1）当a=1时，f（x）≥1等价于g（x）=x2+1e－x－1≤0，则g′（x）=－x2－2x+1e－x=－x－12e－x≤0，于是，当x≥0时，g（x）单调递减，且g0=0，故g（x）≤0，故得证.

（2）命题等价于函数y=a与h（x）=exx2的图像在0，+SymboleB@上只有一个交点.又因为h′（x）=exx－2x3，于是，当x∈0，2时，h′（x）<0，h（x）单调递减；当x∈2，+SymboleB@时，h′（x）>0，h（x）单调递增.故当且仅当a=h2=e24时，命题成立.

练习2．已知函数f（x）=aex－1－lnx+lna.若f（x）≥1，求a的取值范围.

解答：f（x）≥1，即aex－1－lnx+lna≥1，同构变形为elna+x－1－lnx+lna≥1elna+x－1+lna+x－1≥x+lnx=elnx+lnx.构造函数Ft=et+t，则Ft在R上单调递增，于是f（x）≥1Flna+x－1≥Flnxlna+x－1≥lnxlna≥lnx－x+1=g（x）恒成立，即lna≥g（x）max.又因为g′（x）=1－xx，故g（x）max=g1=0，则lna≥0，即a≥1为所求.

题型三、指对混合的复杂函数中的恒成立或有解问题

若是函数不等式中至少混杂了指数函数、对数函数与三角函数中的两类时，由于直接求导较为困难，通常考虑放缩简化.放缩具有一定的技巧性，其基本原理为不等式性质、函数有界性、泰勒展开式等，有时还需要分段以更精确地解决放缩尺度的问题.因此，对于混合型的函数解析式，更加需要考生充分运用数学解题技能，灵活选择合适的方法来解决问题.

例3．已知函数f（x）=ex－lnx+m.当m≤2时，证明f（x）>0.

思路分析：（放缩简化型）先观察f（x）的结构，f（x）的解析式混合了指数函数和对数函数，且参数位于对数函数真数的位置，此时通过指对分离、指对同构等变形并不能简化解决问题，于是联想到泰勒展开式，联合指对函数的切线进行放缩，注意到ex≥x+1>x－1≥lnx，即ex≥x+1≥lnx+2（不同时取等），故可得ex－lnx+2>0，这就是本题的命题背景.

解答：当m≤2，x∈－SymboleB@，+SymboleB@时，f（x）≥ex－lnx+2，故只需证g（x）=ex－lnx+2>0，x>－2.

又因为g′（x）=ex－1x+2在－2，+SymboleB@上单调递增，且g′－1=1e－1<0，g′0=12>0，故存在唯一x0∈－1，0使得g′x0=0.

当x∈－2，x0时，g′（x）<0，g（x）单调递减；当x∈x0，+SymboleB@时，g′（x）>0，g（x）单调递增，故g（x）min=gx0=ex0－lnx0+2，又因为g′x0=ex0－1x0+2=0，所以ex0=1x0+2，变形得－lnx0+2=x0.

于是，有g（x）≥g（x）min=1x0+2+x0=x0+12x0+2>0，得证.

点评：本题是已知参数取值范围，证明不等式恒成立问题，函数的解析式是指对混合的复杂函数，考查利用导数求函数的单调性及最值，属于难题.对于此类问题，可以结合参数的取值范围，对目标不等式进行适当放缩，包括寻找中间常量、切线放缩、割线放缩、利用泰勒展开式放缩等，难点在于放缩的尺度.

变式3．已知函数f（x）=ex－sinx－cosx，g（x）=ex+sinx+cosx.证明：当x>－5π4时，f（x）≥0.

思路分析：（放缩简化型）先观察f（x）的结构，f（x）的解析式混杂了指数函数和三角函数，整体求导比较复杂，于是联想到拆分为两个熟悉的函数：h（x）=ex，φ（x）=sinx+cosx，即证当x>－5π4时，h（x）≥φ（x）；观察发现h（x），φ（x）的函数图像有公共点0，1，且在此公共点处有一条公共切线y=x+1，考虑作放缩处理.作出拆分的两个函数及其公共切线的图像如图，根据三角函数的特点，将函数进行分段处理.在各段的讨论中，综合运用函数有界性（ex>0，－1≤sinx，cosx≤1）以及常用不等式（ex≥x+1，sinx≤xx≥0）进行放缩.

解答：令h（x）=ex，φ（x）=sinx+cosx=2sinx+π4，即证当x>－5π4时，h（x）≥φ（x）.

当x∈－5π4，－π4时，x+π4∈－π，0，故h（x）>0，φ（x）≤0，故成立；

当x∈－π4，0时，由ex>x+1有f（x）>x+1－sinx－cosx=γ（x），则γ′（x）=1+sinx－cosx=1+2sinx－π4≤0，故γ（x）在－π4，0上单调递减，

注意到γ0=0，则γ（x）>0，故成立；

当x∈0，+SymboleB@时，同理由ex>x+1有f（x）>x+1－sinx－cosx=γ（x），

此时，由sinx≤x，cosx≤1得γ（x）≥0，故成立.综上，得证.

练习3．设函数f（x）=exlnx+2ex－1x.证明：f（x）>1.

解答：f（x）>1即exlnx+2ex－1x>1，等价于证明xlnx>xe－x－2e.

令g（x）=xlnx，h（x）=xe－x－2ex>0，即证g（x）>h（x）.

于是，由g′（x）=lnx+1，当x∈0，1e时，g′（x）<0，g（x）单调递减；

当x∈1e，+SymboleB@时，g′（x）>0，g（x）单调递增，故g（x）min=g1e=－1e；

由h′（x）=e－x1－x，当x∈0，1时，h′（x）>0，h（x）单调递增；

当x∈1，+SymboleB@时，h′（x）<0，h（x）单调递减，故h（x）max=h1=－1e.

综上可得，当x>0时，有g（x）≥g（x）min=h（x）max≥h（x），注意到g（x）min与h（x）max不同时取得，于是g（x）>h（x），得证.

总的来说，上述例题的思路分析过程均是依据函

数的恒成立或有解问题的解题程序而得到的，当考生能够通过充分的知识练习和运用，熟练掌握此基本问题的解题程序时，就会像“条件反射”一样，形成更加“自然”的数学解题技能.于是，当考生在面对综合问题时，也能够更快地从陌生问题中联想到基本问题，分析其关系和差异，进而将新的问题转化为基本问题，借助所积累的基本问题解题经验来解决问题.

【本文系全国教育规划课题（教育部重点课题）“粤港澳大湾区背景下中学拔尖创新人才高中-高校贯通式培养的路径研究”（立项号：DHA230397，主持人：叶丽琳）研究成果】

【作者简介：中学数学教师，曾获华南师范大学“先进个人”“优秀毕业生”等称号，获数学建模竞赛省级二等奖等】

责任编辑 徐国坚